Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.
Аксиомы
Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T0, T1, T2, T3, T3½, T4 (от ); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R0, R1, T2½, T5, T6 и другие).
T0
T0 (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек и по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.
T1 T1 (аксиома Тихонова): для любых двух различных точек и должна существовать окрестность точки , не содержащая точку , и окрестность точки , не содержащая точку . Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.
T2
T2 (аксиома Хаусдорфа): для любых двух различных точек и должны найтись непересекающиеся окрестности и .
T3 T3: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестностиВиро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.105математическая энциклопедия. Эквивалентное условие: для любой точки и её окрестности существует окрестность , такая, что . Иногда в определение аксиомы отделимости T3 включают требования аксиомы отделимости T1.Энгелькинг, с.71Келли, с.154 Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T1. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3.
T3½ T3½: для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция , заданная на этом пространстве, принимающая значения от до на всем пространстве, причем и для всех , принадлежащих . Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T1 включают в определение T3½Энгелькинг, с.73, а в определении вполне регулярного пространства не включают требование аксиомы T1 (тогда в определение тихоновского пространства она включается).
T4 T4: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества и его окрестности существует окрестность , такая, что ( — замыкание ). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T1 и T4Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.106. Иногда в определение T4 включают требование выполнения T1Энгелькинг, с.74Келли, с.153, а в определении нормального пространства не включается требование T1.
Свойства Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом: , и не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома ); из следует ; регулярные пространства являются хаусдорфовыми; вполне регулярные пространства являются регулярными; нормальные пространства являются также и вполне регулярными; компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.
Примечания
Литература О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — : Мир, 1986. — 752 с. Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968. — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев
Категория:Общая топология