Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.
Определение Вариация Фреше определяется как:
где — действительнозначная функция, заданная на -мерном параллелепипеде
— произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями такими, что , и , где , . — шаг разбиения;
() — приращение функции по -ой координате;
— обобщённое приращение функции по первым координатам ();
() произвольным образом.
Применение Если , то говорят, что функция имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на . Класс всех таких функций обозначается через .
При этот класс был введён М. ФрешеFrechet М. Transactions of the American Mathematical Society. — 1915. — v. 16. — № 3. — p. 215—234. в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала в пространстве непрерывных на квадрате функций вида . Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде
где , .
Позднее было показано, что для -периодических функций класса () справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов ФурьеMorse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1949. — v. 35. — № 7. — p. 395—399.. Так, например, если , , то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции в каждой точке сходятся к числу
где суммирование распространяется на все возможных комбинаций знаков . При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.
Литература .
См. также Вариация функции Вариация Арцела Вариация Витали Вариация Пъерпонта Плоская вариация Тонелли Вариация Харди
Примечания
Категория:Функциональный анализ