__NOTOC__
Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью: .
Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.
Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы как единичной сферы в , а двумерной сферы как комплексной проективной прямой . Тогда отображение:
и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы :
,
где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:
.
Обобщения Совершенно аналогично, нечётномерная сфера расслаивается со слоем-окружностью над . Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.
Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с: (вещественная), (комплексная — собственно расслоение Хопфа), (кватернионная), (октавная).
Такие расслоения сферы , для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях . Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в без делителей нуля может быть определено только при .
См. также Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа Трехмерная сфера — тотальное пространство расслоения Хопфа Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее Сфера Милнора
Примечания
Ссылки Видео-демонстрация отображения Хопфа на сайте Dimensions-math, главы 7 и 8 Пояснения к демонстрации отображения Хопфа на сайте Dimensions-math Отображение Хопфа на сайте Mathworld
Категория:Расслоения Категория:Маломерная топология