Принцип неопределённости Гейзенбе́рга в квантовой механике — фундаментальное соображение (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного полей).
Более доступно он звучит так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотношение неопределённостейДля каждой пары сопряжённых величин имеется своё соотношение неопределённостей, хотя и имеющее один и тот же вид ; поэтому этот термин часто употребляется во множественном числе (соотношения неопределённостей), как в том случае, когда речь идет о соотношениях неопределённостей вообще, так и в случаях, когда имеются в виду несколько конкретных соотношений для разных величин, а не для только одной пары. задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней физической квантовой механикиКлайн Б. В поисках. Физики и квантовая теория. — М., Атомиздат, 1971. — Тираж 58000 экз. — с. 192—216Гейзенберг В. Развитие интерпретации квантовой теории // Нильс Бор и развитие физики. — М., ИЛ, 1958. — c. 23-45. Является следствием принципа корпускулярно-волнового дуализмаГотт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — С. 63..
Краткий обзор Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих операторов наблюдаемых величин. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измеренийСуществуют, однако, способы частичного обхода этих ограничений, связанные со слабыми измерениями..
Согласно принципу неопределённости, у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс)Это в принципе касается не только частиц, но и любых динамических объектов, например, поля, для которого аналогом координат у частицы служат полевые переменные, а аналогом компонент импульса у частицы — канонические импульсы, связанные с изменением поля со временем.. Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определённый импульс и полностью неопределённая пространственная координата или полностью неопределённый импульс и полностью определённая координата).
Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни определённым значением импульса (учитывая его направление!В примере с частицей в коробке модуль импульса, правда, определён, но зато не определено его направление.), ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована в пределах всего пространства коробки, то есть её координаты не имеют определённого значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки).
Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).
Соотношение неопределённостей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие некоего свойства преобразования ФурьеПроще всего это свойство может быть проиллюстрировано таким рассуждением. Пусть есть некоторая функция и её фурье-образ (спектр) — то есть Очевидно, что если мы «сожмём функцию » по в раз, то есть перейдём к функции , то её спектр растянется во столько же раз: , поскольку частота каждой спектральной гармоники этого разложения должны будут, очевидно, умножиться на . Эта иллюстрация, строго говоря, конечно, носит довольно частный характер, однако она обнажает физический смысл иллюстрируемого свойства: когда мы сжимаем сигнал, его частоты во столько же раз увеличиваются. Не намного сложнее прямым вычислением получить аналогичный вывод для случая гауссовых волновых пакетов, показав, что полуширина гауссова волнового пакета обратно пропорциональна полуширине его спектра (имеющего также гауссов вид). Могут быть доказаны и более общие теоремы, сводящиеся точно к соотношению неопределённостей Гейзенберга, только без в правой части (или, иначе говоря, в точности повторяющие соотношение неопределённостей Гейзенберга при )..
Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например, звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и квантово-механическому импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что то есть импульс в квантовой механике, — это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.
В повседневной жизни, наблюдая макроскопические объекты или микрочастицы, перемещающиеся в макроскопических областях пространства, мы обычно не замечаем квантовую неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало, поэтому являющиеся следствием соотношений неопределённости эффекты настолько ничтожны, что не улавливаются измерительными приборами или органами чувствЯворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики: Учебн. В 2 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика / Под ред. Ю. И. Дика. — 5-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — ISBN 5-9221-0382-2. — С. 136—139..
Определение Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения координаты и среднеквадратического отклонения проекции импульса, мы найдём, что
,
где — приведённая постоянная Планка.
Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — в нерелятивистской физике состояние может быть таким, что может быть измерен со сколь угодно большой точностью, но тогда будет известен только приблизительно; или, наоборот, может быть определён со сколь угодно большой точностью, в то время как — нет. Во всех же других состояниях и , и могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.
В релятивистской физике в системе отсчёта, покоящейся относительно микрообъекта, существует минимальная погрешность измерения его координат . Этой погрешности отвечает неопределённость импульса , соответствующая минимальной пороговой энергии для образования пары частица-античастица, в результате чего сам процесс измерения теряет смысл.
В системе отсчёта, относительно которой микрообъект движется с энергией , минимальная погрешность измерения его координат . В предельном случае ультрарелятивистских энергий энергия связана с импульсом соотношением и , то есть погрешность измерения координаты совпадает с де-бройлевской длиной волны микрообъектаЛандау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 264—265.
Когда достигается равенство
Равенство в соотношении неопределённостей достигается тогда и только тогда, когда форма представления вектора состояния системы в координатном представлении совпадает с формой его представления в импульсном представлении (не меняется при преобразовании Фурье)Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9. — С. 453..
Варианты и примеры
Обобщённый принцип неопределённости Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которая будет приведена далее.
Теорема. Для любых самосопряжённых операторов: и , и любого элемента из , такого, что и оба определены (то есть, в частности, и также определены), имеем:
Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.
Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 году Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:
Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.
Оператор называют коммутатором и и обозначают как . Он определён для тех , для которых определены оба и .
Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:
Предположим, и — две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если и определены, тогда:
,
где:
— среднее значение оператора величины в состоянии системы, и
— оператор стандартного отклонения величины в состоянии системы.
Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится, однако, более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.
То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например, координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.
Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов и , которые имеют один и тот же собственный вектор . В этом случае представляет собой чистое состояние, являющееся одновременно измеримым для и .
Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно определить значения пар переменных и , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.
самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:
Из принципа неопределённости между импульсом и координатой следует, что чем меньше исследуемые расстояния, тем большей энергией должны обладать элементарные частицы. В ультрарелятивистской области () энергия пропорциональна импульсу : и соотношение неопределённости для энергии и координаты принимает вид , так что , где выражено в ГэВ, а в см. Этим соотношением определяется энергия элементарных частиц, необходимая для достижения заданных малых расстояний между ними. Для сближения элементарных частиц на расстояния см и меньше нужно сообщить им энергию, большую ГэВ.
отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:
где различны и обозначает угловой момент вдоль оси .