Вводные определения Пусть — монотонно неубывающая функция, непрерывная слева Турилова Е. А., Кареев И. А. Элементы теории меры и интеграл Лебега. – Казань: Казанский Федеральный Университет, 2016. – с. 29. и такая, что . Введём на полукольце всех промежутков вида меру по следующему правилу: . Эту меру можно продолжить на борелевскую сигма-алгебру. При этом меры промежутков с концами будут заданы следующим образом. , , , , Здесь - правосторонний предел функции в точке (он существует, поскольку функция неубывающая).
Мера может быть продолжена на подмножества числовой прямой по Лебегу. При этом получится — мера Стилтьеса.
Частные случаи производящей функции : — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество — из конечного или счётного числа точек (скаляров). — дискретная мера. Функция F непрерывна, монотонно не убывает на , на . — абсолютно непрерывная мера. — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение равно 1 на всём отрезке, но почти всюду ). Мера сосредоточена в точках роста функции.
Теорема разложения меры
Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной.
Примечания
Лебега о разложении меры Категория:Теория меры