Неравенство Коши́ — Буняко́вского говорит, что скалярное произведение векторов (в евклидовом или гильбертовом пространстве) по модулю не превосходит произведения их норм. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства ЙенсенаСм. доказательство 11 в .
Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ БуняковскогоBounjakowsky W. «Sur quelques inégalités», Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série, 1859, t. 1, № 9.. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.
Формулировка Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).
Примеры Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:
В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
где обозначает комплексное сопряжение . В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
где обозначает ковариацию, а — дисперсию. Для двух случайных величин и неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
Литература
Примечания
Категория:Функциональный анализ Коши Коши Категория:Теория вероятностей Категория:Теория операторов Коши Коши Коши