Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть: одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в некоторую кривую; m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в , вообще говоря, m-мерную поверхность; векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на .
Вектор-функция одной скалярной переменной
Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной отображает некоторый интервал вещественных чисел в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).
Выбрав координатные орты , мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):
Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.
Предел вектор-функции Вектор-функция имеет предел при (или при ), если
(здесь и далее обозначает модуль вектора ). Этот предел можно переписать без модуля:
Другими словами, это означает, что геометрически переменный вектор при стремится к постоянному вектору по длине и по направлению.
Выберем неподвижную точку , в которую поместим начало переменного вектора (см. рисунок справа). В случае, когда при подвижный конец переменного вектора стремится к неподвижной точке , неподвижный вектор есть предел переменного вектора . Разность векторов есть вектор , а модуль последнего бесконечно мал.
В случае, когда у вектор-функции её модуль бесконечно мал, сам вектор называется бесконечно малым. Порядком малости такого вектора называется порядок малости его модуля .
Непрерывность вектор-функции определяется такими же способами, как непрерывность обычной скалярной функции (то есть следующим образом: ), при этом непрерывность вектор-функции можно наглядно выразить как сплошную линию её годографа. Вектор-функция — непрерывная (векторная) функция аргумента тогда и только тогда, когда координаты вектора — тоже непрерывные (скалярные) функции от .
Предел вектор-функции имеет обычные свойства. Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют). Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей. Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.
Производная вектор-функции по параметру
Определим производную вектор-функции по параметру: . Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .
Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют): — производная суммы есть сумма производных — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция. — дифференцирование скалярного произведения. — дифференцирование векторного произведения. — дифференцирование смешанного произведения.
О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.
Вектор-функция нескольких скалярных переменных
Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.
В координатах уравнение имеет вид:
Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: . Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём не обращается тождественно в ноль.
thumb|Координатная сетка на сфере Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде: , где t — параметр кривой. Зависимости предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности: — первая координатная линия. — вторая координатная линия. Если на поверхности нет особых точек ( нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.
Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.
Примечания
Источники
Категория:Векторный анализ Категория:Типы функций