+ Числители и знаменатели дроби чисел Бернулли составляют и соответственно;
Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:
где — биномиальный коэффициент.
Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом . Часть авторов (например, трёхтомник Фихтенгольца) использует определение, которое отличается от этого только знаком . Кроме того, так как за исключением все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение «» для или .
Рекуррентная формула Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:
Свойства
Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме , равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются. Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли при :
Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например: Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при чётных s = 2k:
А также для всех натуральных n > 1.
Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой: при чётных . Из формулы, написанной выше, следует равносильность этой асимптотики и равенства: .
Теорема Штаудта-Клаузена утверждает, что Из неё, в частности, следует, что знаменатель дроби есть произведение простых p таких, что p − 1 делит 2n.
Литература
Ссылки Генератор Чисел Бернулли
Категория:Ряды и последовательности