В теории чисел нечётное натуральное число k является числом Серпинского, если для любого натурального числа n число является составным. Числа Серпинского названы так в честь открывшего их существование польского математика Вацлава Серпинского.
Существование чисел Серпинского довольно неочевидно. Например, если рассмотреть последовательность , то в ней регулярно будут встречаться простые числа, и неожиданным является тот факт, что для некоторых k в последовательности никогда не встретится простое число.
Чтобы доказать, что число k не является числом Серпинского, нужно найти такое n, что число является простым.
Известные числа Серпинского Последовательность известных на данный момент чисел Серпинского начинается так: , , , …
То, что число является числом Серпинского, было доказано в 1962 году , который показал, что каждое число вида делится по крайней мере на одно число из покрывающего множества {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Аналогично доказывается, что также является числом Серпинского: каждое число вида делится по крайней мере на одно число из множества {3, 5, 7, 13, 17, 241}. Большинство известных на данный момент чисел Серпинского обладают подобными покрывающими множествамиSierpinski number at The Prime Glossary .
Проблема Серпинского
Задача отыскания минимального числа Серпинского известна как проблема Серпинского.
В 1967 году Селфридж и Серпинский предположили, что является наименьшим числом Серпинского. Доказательством этой гипотезы занимаются проекты распределённых вычислений Seventeen or Bust и PrimeGrid.
К 2025 году из шести чисел-кандидатов, которые могли бы опровергнуть эту гипотезу, осталось пять: и Seventeen or Bust: Project Stats (число 10223 было отвергнуто в ноябре 2016 года).
См. также Число Прота
Примечания
Ссылки Prime Riddle — статья про числа Серпинского и проект Seventeen or Bust.
Категория:Гипотезы о простых числах Категория:Целочисленные последовательности Категория:Аналитическая теория чисел