Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл.
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство: , где — число Эйлера, которое определяется следующей формулой: , — мнимая единица.
История Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году и перепечатана в книге «Гармония мер» (), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид: .
Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» () (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя.
Производные формулы При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом: , .
Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть , тогда: , .
Известное тождество Эйлера, связывающее три фундаментальные математические константы:
является частным случаем формулы Эйлера при .
Применение в теории чисел
В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида , где — некоторое множество рассматриваемых объектов, а — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.
Для теории чисел, изучающей целые числа, имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера индикаторные тождества, касающиеся произвольного целого числа .
Применение в комплексном анализе Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: .
Также значительным следствием можно считать формулу возведения комплексного числа в вещественную степень (формулу Муавра): . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа в степень его расстояние до центра возводится в степень , а угол поворота относительно оси увеличивается в раз. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.
Взаимосвязь с тригонометрией Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:
Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:
с последующим решением относительно синуса или косинуса.
Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:
Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:
Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:
Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).
Доказательство Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням . Получим:
Но
Поэтому , что и требовалось доказать.
Наглядная демонстрация Известно, что . Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел равен точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется . Это, в частности, связано с тем, что .
Процесс изменения при изменении можно также наглядно продемонстрировать через производную. Общеизвестно, что и . Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию , получим . Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы, для которого известен физический смысл.
Показательная форма комплексного числа Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.
Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .
Примечания
Литература Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37.
Категория:Тригонометрия Категория:Комплексный анализ Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера