Теоре́ма Фробе́ниуса — результат общей алгебры, согласно которой при всякое тело (в частности, поле), являющееся конечномерной алгеброй с делением над полем вещественных чисел изоморфно либо исходному полю , либо полю комплексных чисел , либо телу кватернионов . Доказана Фердинандом Фробениусом в 1877 году.
Результат означает, что невозможно задать 4 арифметических действия над столбцами (любой высоты, большей 1) из вещественных чисел так, чтобы они удовлетворяли естественным требованиям — ассоциативности, коммутативности, обратимости и билинейности, то есть аксиомам поля, и единственным исключением из этого запрета являются комплексные числа — столбцы из двух вещественных чисел. В случае же ослабления требований путём отказа от коммутативности умножения может быть получено ещё одно исключение — кватернионы — столбцы из четырёх вещественных чисел. Таким образом, «обобщённых чисел», получаемых путём расширения совокупности вещественных чисел при естественных ограничениях, таких как конечномерность и сохранение основных свойств, не бывает в размерностях 3, 5, и выше 5.
8-мерные октонионы Кэли исключением не являются, поскольку умножение для них неассоциативно. При этом они образуют единственную единственную конечномерную альтернативную (неассоциативную) алгебру без делителей нуля, расширяющую вещественные числа, иногда это расширение называют обобщённой теоремой Фробениуса. При расширениях системы комплексных чисел поэтапно теряются какие-либо алгебраические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли), альтернативность (седенионы).
Теорема относится только к конечномерным расширениям , не охватывая, например, поле гипервещественных чисел нестандартного анализа, которое тоже является расширением , но не конечномерным. Другой пример — алгебра рациональных функций.
В изначальной формулировке Фробениуса требовалось, чтобы конечномерная алгебра над была ассоциативной. Но поскольку если пространстве (при ) определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере существует линейно независимых векторных полей, а из результатов, полученных в 1960 году Адамсом о количестве , следует, что это возможно только для сфер , и , таким образом, требование ассоциативности избыточно.
Обобщённая теорема Фробениуса следует из теоремы Гурвица о нормированных вещественных алгебрах: список нормированных алгебр с делением исчерпывается , , и — мультипликативность нормы эквивалентна альтернативности в конечномерном случае, тем самым неальтернативные расширения исключаются.
Примечания
Литература
Категория:Общая алгебра Фробениуса