Теорема Пикара — одна из двух тесно связанных между собой теорем теории функций комплексного переменного (называемые большая и малая). Названы в честь Шарля Пикара.
Малая теорема Пикара
Областью значений целой функции, отличной от константы, является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.
Большая теорема Пикара Пусть функция голоморфна в проколотой окрестности точки и имеет в точке существенную особенность. Тогда принимает в все значения, кроме, быть может, одного, бесконечное число раз.
Примечания
Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля, целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность. Большая теорема Пикара допускает обобщение на случай мероморфных функций. Пусть — риманова поверхность, — сфера Римана, — голоморфная функция, имеющая в точке существенную особенность. Тогда в любой окрестности точки функция принимает почти все значения на , за исключением не более чем двух. Например, мероморфная функция
имеет существенную особенность в точке и достигает в любой окрестности , но нигде не равна 0 или 1. Большая теорема Пикара является в некотором смысле обобщением теоремы Сохоцкого. При доказательстве используется неравенство Шоттки. Литература Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, — : Физматкнига, 2003. — , Издательство МФТИ, 2003. — 203 с — ISBN 5-89155-115-9 Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, — : Лань, 2004. — 336 с — ISBN 5-8114-0568-5 (ISBN 5-8114-0567-7)
Категория:Комплексный анализ Пикара (комплексный анализ)