Циклическая группа — группа , которая может быть порождена одним элементом , то есть все её элементы являются степенями (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде , где — целое число). Математическое обозначение: .
Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению
Свойства
Все циклические группы абелевы. Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе = со сложением по модулю n (её также обозначают ), а каждая бесконечная — изоморфна , группе целых чисел по сложению. В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n. Каждая подгруппа циклической группы циклична. У циклической группы порядка n существует ровно (функция Эйлера) порождающих элементов. Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа). Прямое произведение двух циклических групп порядков и циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты. Например, изоморфна , но не изоморфна . Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа , где p — простое число, или . Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка). Кольцо эндоморфизмов группы изоморфно кольцу . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов изоморфна .
Примеры
Группа корней из единицы степени n по умножению. Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G.
Доказательства
Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.
Доказательство. Пусть — циклическая группа и — подгруппа группы . Если группа тривиальна (состоит из одного элемента), то и циклична. Если — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что и не являются тривиальными.
Пусть — образующий элемент группы , а — наименьшее положительное целое число, такое что . Утверждение:
Следовательно, .
Пусть . . Согласно алгоритму деления с остатком . . Исходя из того, каким образом мы выбрали и того, что , делаем вывод, что . . Следовательно, .
Литература Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001. Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.
Категория:теория групп Категория:Свойства групп