Контактное число (иногда число Ньютона, в химии соответствует координационному числу ) — максимальное количество n-мерных шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном евклидовом пространстве (предполагается, что шары не проникают друг в друга, то есть объём пересечения любых двух шаров равен нулю).
Следует отличать контактное число от контактного числа на решёткеКонтактные числа на решётках: — аналогичного параметра для плотнейшей регулярной упаковки шаров. Вычисление контактного числа в общем случае до сих пор является нерешённой математической задачей.
История В одномерном случае не более двух отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка:
В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монет, касающихся центральной. Из рисунка видно, что разместить можно до 6 монет:
Это значит, что . С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит . Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и .
В трёхмерном случае речь идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому . Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону.
Это расположение неплотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что , а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что . Если позволить менять радиусы шаров на 2 %, то оказывается возможным прислонить до 14 шаров.
Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства.
В четырёхмерном случае представить себе шары достаточно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно давно, оно столь же регулярное, как и в двумерном случае, и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов.
В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом. Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым Рус. пер.: . Это расположение дало оценку снизу .
Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что , потом удалось снизить верхнюю границу до . И наконец в 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что .
В размерностях 8 и 24 точная оценка была получена в 1970-е годы. Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24).
В 2025 году ИИ AlphaEvolve от компании Google DeepMind улучшил нижнюю границу контактного числа в 11-мерном пространстве с 592 до 593Meet AlphaEvolve, the Google AI that writes its own code—and just saved millions in computing costs.
Известные значения и оценки
В настоящее время точные значения контактных чисел известны только для , а также для и . Для других размерностей известны только верхние и нижние оценки, но не точные значения.
РазмерностьНижняя границаВерхняя граница122631242454044672777126134824024 196 560
Приложения Задача имеет практическое применение в теории кодирования. В 1948 году Клод Шеннон опубликовал работу по теории информации, показывающую возможность передачи данных без ошибок в зашумленных каналах связи используя координаты упаковки единичных сфер в n-мерном пространстве. См. также Расстояние Хэмминга.
См. также Упаковка шаров Открытые математические проблемы
Примечания
Ссылки Контактное число шаров и сферические коды. Математические этюды.
Категория:Комбинаторная геометрия