Ква́дрика, или квадри́ка, — n-мерная гиперповерхность в n + 1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты } , общее уравнение квадрики имеет вид
Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:
где x = } — вектор-строка, xT — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n+1)×(n+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительными или комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.
Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.
Квадрики в евклидовом пространстве Квадрики на евклидовой плоскости соответствуют случаю n = 1, то есть являются кривыми. Обычно их называют не квадриками, а кониками или коническими сечениями.
Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность n = 2 и называются поверхностями второго порядка. Проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм. Из них 5 являются невырожденными (то есть матрица является невырожденной). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.Stewart Venit, Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве Эллипсоид Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид
Аффинное и проективное пространство Классификация квадрик в трёхмерном аффинном пространстве совпадает с классификацией квадрик в евклидовом пространстве.П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. С.275. Различие состоит в том, что любые две квадрики из одного класса можно перевести друг в друга аффинным преобразованием, тогда как соответствующее ортогональное преобразование существует не всегда (например, эллипсоид невозможно перевести движением в эллипсоид ).
От квадрики в аффинном пространстве можно перейти к квадрике в проективном пространстве, введя однородные координаты. Пусть в аффинном пространстве введены координаты тогда в уравнении квадрики достаточно домножить линейные члены на а свободный член на Уравнение проективной квадрики в однородных координатах имеет вид
Без ограничения общности можно считать, что матрица симметрична, то есть Проективная квадрика называется невырожденной, если соответствующая ей квадратичная форма невырождена.
В действительном проективном пространстве, согласно закону инерции квадратичных форм, любую невырожденную квадратичную форму можно (проективным преобразованием) привести к виду
Поскольку сигнатура квадратичной формы является её инвариантом, в размерности n = 2 существует ровно три класса эквивалентности:
Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид принадлежат второму классу, а гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид — третьему (последние две квадрики являются примерами линейчатых поверхностей). Ни одна квадрика в действительном проективном пространстве не принадлежит первому классу, так как соответствующее уравнение определяет пустое множество. В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.
Произношение термина В словарях приводятся различные ударения: квадри́каМатематический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1988, стр. 265.О. Е. Иванова и др.; отв. ред. В. В. Лопатин. Русский орфографический словарь: - 2-е изд., 2005, 943 с., стр.285 («русское» произношение) и ква́дрикаLohwater's A.J. Russian-english dictionary of the mathematical sciences. Edited by R.P.Boas. 1990. стр 155Русско-португальский и португальско-русский физико-математический словарь / В. В. Логвинов. М.:Рус.яз., 1989, стр.114 («иностранное» произношение). В разговорном языке используется произношение как квадри́ка (Калининградская геометрическая школа), так и ква́дрика«поверхности степени 2 называются ква́дриками» 21 min 55 sec - 22 min 05 sec (Летняя школа «Современная математика», 2015. Курс «Двадцать семь прямых».)«ква́дрика в проективном пространстве», 1 min - 1 min 05 sec (Научно-образовательный центр МИАН. Курс «Классическая алгебраическая геометрия», 2015/2016.)«пусть X - это ква́дрика, предположим, что на этой ква́дрике существует точка», 6 min 36 sec - 6 min 56 sec (Общеинститутский математический семинар Санкт-Петербургского отделения МИАН, 23 сентября 2010 г.). Не известно примеров другого произношения.
Литература Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2, стр.795 (статья «Квадрика»). М.: Советская энциклопедия, 1979—1985.
Примечания
См. также
Коническое сечение Коническая константа Кривая второго порядка Кубика Поверхность второго порядка Теорема Брианшона Теорема Паскаля Фигуры Лиссажу
Категория:Квадрики Категория:Конические сечения Категория:Алгебраические многообразия Категория:Проективная геометрия