Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества — комплексных чисел, дополненных точкой бесконечности — в виде сферы в трёхмерном евклидовом пространстве, подобно тому, как множество действительных чисел изображаются в виде прямой и как множество комплексных чисел в виде плоскости. Задаётся уравнением со стереографической проекцией в плоскость , отождествляемой с комплексной плоскостью: . Таким образом, южному полюсу сферы — точке — соответствует число , а северному полюсу — точке , единственной, где знаменатель проекции обращается в нуль — ставится в соответствии бесконечно удалённая точка .
В связи со взаимной однозначностью отображения между сферой Римана и расширенной комплексной плоскостью термин «сфера Римана» часто используется как синоним для множества комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой.
Координаты Сфера Римана позволяет ввести численные координаты на расширенном множестве комплексных чисел как трёхмерные вещественные координаты , связанные уравнением . Переход к стандартным аффинным комплексным координатам (способным принимать значение ) задаётся формулой проекции; переход от аффинных к вещественным:
Кроме того, могут быть введены проективные однородные комплексные координаты со следующим переходом к аффинным комплексным: ; переход к проективным с вещественных:
Сферическая метрика
Сфера Римана позволяет ввести на множестве иную метрику, отличную от евклидовой — сферическую метрику — как евклидову метрику между соответствующими точками на сфере Римана, то есть, для двух чисел : , непосредственное выражение: . Евклидова и сферические метрики эквивалентны на ; при этом сферическая метрика, в отличие от евклидовой, может быть естественно продолжена на расширенное множество комплексных чисел, например: .
Автоморфизмы Автоморфизмы области — голоморфные биективные отображения этой области в себя — обычно называют автоморфизмами сферы Римана, они являются расширенными дробно-линейными преобразованиями комплексной плоскости — задаются для любых таких, что:
как: , достроенные до непрерывности во всех точках, где это выражение напрямую не определено.
Дробно-линейные отображения на сфере Римана переводят окружности в окружности.
Приложения Сфера Римана широко используется в теоретической физике.
В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.
Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (кубит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту отсчитывают от полюса и делят угол на 2 ()
В таком случае верны соотношения:
В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.
Внутренность сферы Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.
Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям кубита, и геометрически устроена как обычный шар.
Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.
Примечания
Литература
Категория:Комплексный анализ Категория:Римановы поверхности