Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех из по формуле . Здесь мы используем соглашение, что элементы группы действуют справа.
Операция называется сопряжением (см. также «Класс сопряжённости») и часто представляет интерес выделить случаи, когда сопряжение с помощью одного элемента оставляет неизменным другой элемент, от случая, когда сопряжение переводит элемент в другой элемент.
Фактически, утверждение, что сопряжение элементом оставляет неизменным, эквивалентно утверждению, что и коммутируют: .
Таким образом, существование и число внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественными, служит мерилом коммутативности в группе.
Автоморфизм группы является внутренним тогда и только тогда, когда он расширяется в любой группе, содержащей .
Обозначения Выражение часто записывается в виде степени . Эта запись используется, поскольку выполняется правило .
Свойства Любой внутренний автоморфизм является, конечно, автоморфизмом группы , то есть биективным отображением из в . Он является также гомоморфизмом, что означает .
Внутренний и внешний автоморфизмы групп Композиция двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом (как упоминалось выше — ) и набор всех внутренних автоморфизмов группы сам по себе тоже является группой (группой внутренних автоморфизмов группы ) и обозначается .
является нормальной подгруппой полной группы автоморфизмов группы . — это факторгруппа
Группа внешних автоморфизмов отражает, в некотором смысле, сколь много автоморфизмов являются внутренними. Любой невнутренний автоморфизм даёт нетривиальный элемент группы , но различные невнутренние автоморфизмы могут давать одинаковые элементы группы .
Связывая элемент с внутренним автоморфизмом в группе как выше, получаем изоморфизм между факторгруппами (где — центр группы ) и группой внутренних автоморфизмов: .
Это является следствием первой теоремы об изоморфизмах, поскольку — это в точности множество тех элементов группы , которые дают тождественное отображение, когда используются для создания внутреннего автоморфизма (сопряжение ничего не меняет).
Невнутренние автоморфизмы конечных -групп Результат Вольфганга Гащютца гласит, что если группа конечна и является неабелевой p-группой, то имеет автоморфизм порядка в некоторой степени, не являющийся внутренним.
Открытой проблемой является вопрос, любая ли неабелева -группа имеет автоморфизм порядка . Вопрос имеет положительный ответ, если удовлетворяет одному из условий: Группа является нильпотентной класса 2 является является Централизатор группы центра группы , не равен
Типы групп Группа внутренних автоморфизмов тривиальна (то есть состоит только из нейтрального элемента) тогда и только тогда, когда группа абелева.
Легко показать, что может быть циклической группой, только когда она тривиальна.
Внутренние автоморфизмы могут составлять всю группу автоморфизмов. Группа, у которой все автоморфизмы являются внутренними, а центр тривиален, называется полной. Это выполняется для всех симметрических групп с элементами, когда не равно 2 или 6. Если , симметрическая группа имеет единственный нетривиальный класс внешних автоморфизмов, а при симметрическая группа, хотя и не имеет внешних автоморфизмов, является абелевой, что даёт нетривиальный центр, а потому группа не может быть полной.
Пусть группа совпадает со своим коммутантом (в англоязычной терминологии — совершенная группа). Если группа её внутренних автоморфизмов проста, то такая группа называется квазипростой.
Случай кольца Если задано кольцо и единица из , отображение является автоморфизмом кольца . Автоморфизмы кольца такого вида называются внутренними автоморфизмами кольца . Эти автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы автоморфизмов кольца .
Случай алгебр Ли Автоморфизм алгебры Ли называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид , где является сопряжённым отображением, а — элемент группы Ли, алгебра которого равна . Обозначение внутреннего автоморфизма алгебр Ли совместимо с обозначением для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли порождает единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.
Примечания
Литература
Литература для дальнейшего чтения
Категория:Теория групп