В линейной алгебре базис векторного пространства размерности — это последовательность из векторов , таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто есть необходимость работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода, или замены.
Определение Если векторы выражаются через векторы как: . . . . то матрица перехода от базиса к базису будет:
Использование При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису , мы получаем тот же вектор, выраженный через базис .
Пример Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:
Матрицы наиболее распространённых преобразований В двумерных координатах В однородных двумерных координатах В однородных трёхмерных координатах Масштабирование
При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ: Поворот
При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространствеПо часовой стрелке Относительно OX на угол φОтносительно OY на угол ψ Против часовой стрелки Относительно OZ на угол χ Перемещение
При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.В неоднородных координатах не имеет матричного представления.
Свойства Матрица перехода является невырожденной, Это значит, что есть определитель этой матрицы не равен нулю.
Пример поиска матрицы Найдём матрицу перехода от базиса к единичному базису путём элементарных преобразований
следовательно
См. также Цепи Маркова Стохастическая матрица Матрица поворота
Примечания
Ссылки
Матрицы перехода от базиса к базису
Категория:Типы матриц Категория:Линейная алгебра