Расслоённое произведение (рассло́енное произведение, послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, ) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: . Расслоённое произведение часто обозначают как .
Двойственное понятие — кодекартов квадрат.
Универсальное свойство Для пары морфизмов и в категории расслоённое произведение и над — это объект вместе с морфизмами для которых следующая диаграмма коммутативна:
Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта с парой морфизмов и , дополняющих пару до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм такой, что коммутативна диаграмма:
Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами , , , называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов и .
Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.
Примеры В категории множеств расслоённое произведение множеств и с отображениями и — это множество:
вместе с естественными проекциями на компоненты.
Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец.
Также расслоённое произведение в можно описывать двумя асимметричными способами:
,
где — дизъюнктное объединение множеств.
См. также Индуцированное расслоение
Литература
Категория:Теория категорий Категория:Пределы (теория категорий)