Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Она утверждает, что если точка лежит на стороне треугольника , то

где , и (рис. 1). Отрезок AD называется чевианой треугольника ABC. Доказательства Через произведение векторов Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения. Представим вектор длина которого искома, двумя способами:

Первое уравнение домножим на длину , а второе — на

Теперь сложим полученные уравнения:

где так как и имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор равен

Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора на самого себя:

Далее, чтобы выразить через длины, нужно найти

Отсюда окончательно получается, что

Через теорему косинусов Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABD и ACD и через углы и смежные друг другу:

Умножим первое уравнение на , а второе — на

Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:

История Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников, и частный случай теоремы Стюарта, когда чевиана вырождается в медиану, — это теорема Аполлония. Следствием теоремы Стюарта также является теорема Птолемея.

Обобщение Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.

Примечания

Литература Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53. В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303. Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.

Категория:Геометрия треугольника Стюарта