Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей Cl(E, Q(,)) над некоторым коммутативным кольцом K (E — векторное пространство или, более общо, свободный K-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на E билинейной формой Q.
Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E⊕K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также , кватернионы и т. п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.
Формальное определение Пусть — коммутативное кольцо с единицей, — свободный K-модуль, — квадратичная форма на . Алгеброй Клиффорда квадратичной формы (или пары ) называется факторалгебра тензорной алгебры , -модуля по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида
Элементы (векторы) из , являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы , причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей: .
Свойства алгебры Клиффорда зависят от поля и от сигнатуры квадратичной формы Q — пары чисел (p, q). Поэтому обозначают, например, так . Для поля комплексных чисел достаточно одного индекса размерности пространства.
При этом — это собственно поле K (вещественных или комплексных чисел). Алгебра двумерна и изоморфна полю комплексных чисел. Алгебра четырехмерна и изоморфна алгебре кватернионов. Алгебра изоморфна алгебре матриц Паули.
Комментарий Если есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда — линейное пространство, а в качестве используется присущее такому пространству скалярное произведение.
Упрощенное «базисное» определение Определим альтернативным образом алгебру Клиффорда в случае когда — векторное (линейное) пространство, на основе заданного базиса этого пространства.
Пусть линейное пространство имеет размерность , где — некоторое натуральное число. Заданный набор базисных векторов упорядочим и введем следующую систему мультииндексных обозначений, каждый индекс, которых пробегает от 1 до n, при этом используются только упорядоченные по возрастанию наборы индексов): первый элемент базиса — без индекса, следующие элементов базиса — с одним индексом, следующие элементов с двумя индексами и т. д. (количество элементов базиса с числом индексов i равно ):
Несложно видеть, что таким способом охватываются все элементы базиса пространства. Далее вводится ассоциативная, дистрибутивная и линейная слева и справа (относительно поля), операция умножения элементов, обладающая дополнительно следующими свойствами: (унитальность)
, где — диагональная матрица, первые p элементов которой равны 1, а оставшиеся q=n-p элементов равны −1.
Элементы являются генераторами алгебры Клиффорда, пара чисел или их разность — сигнатура алгебры. Любой элемент алгебры выражается стандартным образом через элементы базиса — линейная комбинация элементов базиса. Элементы подпространства, натянутого на базисные элементы с k индексами имеют ранг k.
С помощью введенной таким образом операции умножения можно ввести в данном линейном пространстве также и скалярное произведение:
где — это след элемента, который, по существу равен коэффициенту при единичном элементе алгебры в разложении по базису; — знак эрмитового сопряжения.
Свойства Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых :
где — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q: . выражение называется антикоммутатором и .
Для нулевой квадратичной формы алгебра совпадает со внешней алгеброй -модуля . Пусть — некоторый базис -модуля , тогда элементы вида для всех k от 1 по n) или, иначе: где образуют базис -модуля . В частности, является свободным -модулем ранга (размерности) Если, кроме того, ортогональны относительно , то можно задать как -алгебру с образующими и определяющими соотношениями , () и . Алгебра Клиффорда обладает Z2-градуировкой. В частности, подмодуль в , порождённый произведениями чётного числа элементов из , образует подалгебру в , которая обозначается через . Пусть — поле и квадратичная форма невырождена тогда при чётном n алгебра является центральной простой алгеброй над размерности , подалгебра сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над . Если алгебраически замкнуто, то при чётном n — матричная алгебра, a — произведение двух матричных алгебр, при нечётном n, наоборот, — матричная, а — произведение двух матричных алгебр.
Матричные представления алгебр Клиффорда Уравнение Дирака — важный пример применения представлений , которые впервые изучены Этторе Майораной.
Литература
(см. ) Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, Cambridge University Press, 1995. ISBN 978-0-521-55177-9 R. Jagannathan (2010), «On generalized Clifford algebras and their physical applications »
Категория:Алгебры над кольцами Категория:Гиперкомплексные числа