Функциональное уравнение Коши для функции имеет вид
.
Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только для вещественных.
Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида , где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дополнительные ограничения, накладываемые на , могут исключать возможность существования других решений. Например, линейные функции оказываются единственно возможными решениями, если:
непрерывна (доказано Коши в 1821 году). Это условие было ослаблено в 1875 году Дарбу, который показал, что непрерывность функции необходима только в одной точке. монотонна на некотором интервале. ограничена сверху либо снизу на некотором интервале (частный случай: сохраняет знак на некотором интервале). для некоторого интервала значений аргумента существует ненулевой интервал значений, которые функция не принимает на этом интервале (более общий вариант предыдущего случая). интегрируема (в частности, по Лебегу) на некотором интервале. измерима на некотором интервале.
С другой стороны, если нет никаких дополнительных ограничений на , то существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению (см. статью "Базис Гамеля"). Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием базиса Гамеля, а значит и аксиомы выбора. Обобщение Третьей проблемы Гильберта на случай многомерных пространств использует это уравнение.
Другие формы функционального уравнения Коши Следующие функциональные уравнения эквивалентны аддитивному уравнению Коши : логарифмическое уравнение Коши (одно из семейств решений имеет вид ). степенное уравнение Коши (одно из семейств решений имеет вид ). экспоненциальное уравнение Коши (одно из семейств решений имеет вид ).
Вырожденным решением этих уравнений является функция .
Решение в рациональных числах Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа. Возьмём :
, .
Теперь положим и :
, .
Собрав всё вместе, получим: .
Положив и обозначив , мы имеем единственное семейство решений над .
Существование нелинейных решений Доказательство существования нелинейных решений не конструктивно и основано на аксиоме выбора. С её помощью доказывается существование базиса Гамеля в любом векторном пространстве, в том числе бесконечномерном.
Рассмотрим как векторное пространство над полем : в нём есть базис Гамеля. Возьмём коэффициент перед некоторым базисным вектором в разложении числа по базису — это и будет значение . Полученная функция принимает рациональные значения (как коэффициент при разложении над ) и не равна тождественно нулю (), а потому не может быть линейна. Нетрудно понять, что она аддитивна, то есть удовлетворяет уравнению Коши.
В общем случае пусть — базис Гамеля множества действительных чисел над полем рациональных чисел . Тогда для каждого вещественного существует разложение по базису Гамеля (где ), причём такое разложение единственно с точностью до порядка членов разложения и членов с нулевыми множителями. Для аддитивной функции должно быть выполнено условие , где будут фиксированными вещественными числами (за знак аддитивной функции можно выносить рациональные множители, см. предыдущий раздел). Очевидно, что функция , заданная с помощью этого соотношения, при любом выборе вспомогательных чисел удовлетворяет аддитивному уравнению Коши . Однако только в том случае, когда , где это произвольное вещественное число, рассматриваемая функция оказывается линейной функцией.
Свойства нелинейных решений Сейчас мы докажем, что всякое нелинейное решение должно быть достаточно необычной функцией — его график должен быть всюду плотен в . Это означает, что любой, сколь угодно малый круг на плоскости содержит по крайней мере одну точку этого графика. Из этого легко выводятся другие свойства, такие как разрывность в любой точке, немонотонность и неограниченность на любом интервале.
Мы можем, поделив функцию на , считать, что . (Если , то , и рассуждения, приводимые ниже, сохраняют свою силу с минимальными изменениями, если предположить, что найдётся точка , для которой .) Если функция не линейна, то для некоторого : положим . Покажем теперь, как найти точку графика в произвольном круге с центром в точке , радиуса , где . Ясно, что этого достаточно для плотности графика всюду в .
Положим и выберем рациональное число , близкое к , таким образом, чтобы:
Затем выберем рациональное число , близкое к , так, чтобы:
Теперь возьмем и, используя функциональное уравнение, получим:
Но тогда , то есть точка оказалась внутри круга.
Также можно показать, что когда аддитивная функция не является линейной, она будет разрывной в любой точке вещественной оси, а также не сохраняет знак, не ограничена ни сверху, ни снизу, не монотонна, не интегрируема и не измерима на любом сколь угодно малом интервале, заполняя, в соответствии с доказанным выше утверждением о плотности графика всюду на плоскости , на любом сколь угодно малом интервале своими значениями всю числовую ось плотным образом.
Примечания
Литература
Решение функционального уравнения Коши — Rutgers University
Категория:Функциональные уравнения