Троичная система счисления

Трои́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3.

Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.

Один троичный разряд называется трит (сокращение от trinary digit).

Троичные цифры В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в троичной симметричной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}, {,0,1}, {1,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и цифры {2,0,1}, {7,0,1}. В распечатках ЭВМ «Сетунь» использовалось кодирование {,0,1}. Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A,B,C}, но при этом дополнительно нужно указать старшинство знаков, например, A<B<C.

Физические реализации В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду в троичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикой на входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.

Представление чисел в троичных системах счисления

Несимметричная троичная система счисления Примером представления чисел в несимметричной троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:

Десятичное число 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Троичное число 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз (разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т. д.

Несимметричная троичная система счисления является частным случаем спаренных (комбинированных) показательных позиционных систем счисления, в которой ak — из троичного множества a={0,1,2}, b=3, веса разрядов равны 3k.

Показательные системы счисления В показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы: внутриразрядная система кодирования с основанием с, числа которой используются для записи цифр и приписная межразрядная система счисления с основанием b.

Целое число в показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) — на k-е степени числа b: , где:

k — число от 0 до n-1, номер числового разрядa, n — число разрядов, с — основание системы кодирования, с равно размерности множества a={0,1,…,c-1} из которого берутся цифры ak, ak — целые числа из множества a, называемые цифрами, b — число, основание межразрядной показательной весовой функции, bk — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты разрядов.

Каждое произведение в такой записи называется (a, b)-ичным разрядом.

При c=b образуются (b, b)-ичные системы счисления с произведением — akbk и суммой — , которые при b=3 превращаются в обычную (3,3)-ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.

Весовой коэффициент разряда — bk — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — k, и необязательно степенью числа 3. Множество значений ak более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, ak могут быть тоже необязательно из троичного множества a={0,1,2}, но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. ak-е ближе к аппаратной части и по ak-м из множества a={0,1,2} или из множества a={-1,0,+1}, определяется система кодирования: несимметричная троичная или симметричная троичная.

Показательные троичные системы счисления

Целое число в показательной позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:

В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты , в записи они опускаются, но подразумевается, что k-й разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный .

Из комбинаторики известно, что количество записываемых кодов равно числу размещений с повторениями:

где a = 3 — 3-элементное множество a = {0, 1, 2}, из которого берутся цифры ak, n — число элементов (цифр) в числе x3,b.

Количество записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b, которое определяет диапазон представляемых числами x3,b величин.

Дробное число записывается и представляется в виде

где m — число разрядов дробной части числа справа от запятой; при m = 0 дробная часть отсутствует, число — целое, при ak из троичного множества a = {0, 1, 2} и b = 1 образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными 1k = 1, при ak из двоичного множества a = {0, 1} и b = 3 в сумме будут только целые степени — 3k, при ak из троичного множества a = {0, 1, 2} и b = 3 в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, ak удовлетворяют неравенству , то есть , при ak из десятичного множества a = {0, 1, ..., 9} и b = 3 в сумме будут целые степени 3 умноженные на 1, 2, ..., 9.

В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.

Троичные системы счисления с дополнительным сомножителем В показательных позиционных троичных системах счисления в вес разряда можно ввести дополнительный сомножитель. Например, сомножитель (b/с):

В общем случае c≠3. При ak из a={0,1,2}, b=3 и c=3 образуется обычная несимметричная троичная система счисления. При a=2, b=3 и c=2 образуется (2,3,2)-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным (3/c)=(3/2)=1,5. При других значениях a, b и c образуются другие показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем (b/c), число которых бесконечно. Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.

Кодирование троичных цифр Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.

Трёхуровневые системы кодирования троичных цифр 1. Трёхуровневое кодирование троичных цифр (3-Level LevelCoded Ternary, 3L LCT, «однопроводное»): Число трёхуровневых систем кодирования троичных цифр равно числу перестановок: из них одна 1.1. Симметричная {-1,0,+1} +U — (+1) ; 0 — (0) ; -U — (-1) , 1.2. Сдвинутая на +1 {0,1,2} 1.3. Сдвинутая на +2 {1,2,3}

Двухуровневые системы кодирования троичных цифр 2. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием 3-х кодов из 4-х возможных: Число возможных 2B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения: умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр: то есть 4*6 = 24. Вот некоторые из них: 2.1. (1,0) — 2 ; (0,1) — 1 ; (0,0) — 0. 2.2. (1,1) — 2; (0,1) — 1; (0,0) — 0. 3. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием всех 4-х кодов из 4-х возможных (два из 4-х кодов кодируют одну и туже троичную цифру из 3-х). 3.1. Вот одна из них: (0,0) — «0» (1,1) — «0» (0,1) — «-1» (1,0) — «+1» 4. Трёхбитные двоичнокодированые троичные цифры (3-Bit BinaryCodedTernary, 3B BCT representation, «трёхпроводное») с использованием 3-х кодов из 8-ми возможных: Число возможных 3B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения: умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр: то есть 54*6 = 324. Вот некоторые из них: 3.1. (1,0,0) — 2; (0,1,0) — 1; (0,0,1) — 0. 3.2. (0,1,1) — 2; (1,0,1) — 1; (0,1,0) — 0. 3.3. (1,1,1) — 2; (0,1,1) — 1; (0,0,1) — 0. 3.4. (0,0,0) — 2; (1,0,0) — 1; (1,1,0) — 0. 3.5. (1,0,0) — 2; (1,1,0) — 1; (1,1,1) — 0. 3.6. (0,1,1) — 2; (0,0,1) — 1; (0,0,0) — 0. 3.7. (1,0,1) — 2; (0,1,0) — 1; (0,0,0) — 0. и др.

Сравнение с двоичной системой счисления

При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления. При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость чисел, а троичный код имеет ёмкость числа, то есть в раза больше. При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость чисел, а троичный код имеет ёмкость чисел, то есть в раз больше.

Свойства

Среди позиционных несимметричных систем счисления троичная система наиболее экономична по количеству знаков. (альтернативная ссылка )А. Кушнеров Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на 3 до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа.http://algolist.manual.ru/maths/teornum/count_sys.php Перевод из системы с большим основанием — в систему с меньшим Пример: десятичное целое число 4810,10 переведём в несимметричное троичное целое число: число = 4810,10 делим на 3, частное = 16, остаток a0 = 0 частное = 1610,10 делим на 3, частное = 5, остаток a1 = 1 частное = 510,10 делим на 3, частное = 1, остаток a2 = 2 частное = 110,10 делим на 3, частное = 0, остаток a3 = 1 Частное не больше нуля, деление закончено. Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат 4810,10 = (a3a2a1a0)3,3 = 12103,3.

Симметричная троичная система счисления Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170—1250) для решения «задачи о гирях».«Троичный принцип» Николая Брусенцова . Задачу о наилучшей системе гирь рассматривал Лука Пачоли (XV в.). Частный случай этой задачи был опубликован в книге французского математика Клода Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач» в 1612 году (русский перевод книги К. Г. Баше «Игры и задачи, основанные на математике» вышел в Петербурге только в 1877 г.). В 1797 году в России был издан закон «Об учреждении повсеместно в Российской империи верных весов питейных и хлебных мер». Для взвешивания товаров допускались только гири следующих весов: в 1 и 2 пуда, в 1, 3, 9, 27 фунтов и в 1, 3, 9, 27 и 81 золотник. Как приложение к закону была издана таблица для взвешивания товаров от 1 фунта до 40 фунтов при помощи гирь в 1, 3, 9, 27 фунтов и для взвешивания товаров от 1 золотника до 96 золотников при помощи гирь в 1, 3, 9, 27 и 81 золотникДепман И. Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин. Выпуск 1. (Москва: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР (Учпедгиз), 1956. — Серия «Библиотека школьника»). Глава VIII. § Использование наиболее удобной системы гирь в России. Стр.118. Этой задачей занимался петербургский академик Леонард Эйлер, а позже интересовался Д. И. Менделеев. В Google Chrome после нажатия на PDF(333Kb) нужно стронуть одну из боковых сторон рамки браузера.И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. Издание второе, исправленное. Издательство «Просвещение», Москва, 1965. Глава I. Натуральное число. 7. Задача Баше — Менделеева, стр.36.Е. С. Давыдов, Наименьшие группы чисел для образования натуральных рядов, Спб., 1903, 36 стр.В. Ф. Гартц, Лучшая система для весовых гирь, Спб., 1910, 36 стр.Ф. А. Слудский, О свойствах степеней двух и трёх. «Математический сборник», ч. III, стр. 214.