Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Нью́то́на (Зако́н всеми́рного тяготе́ния Нью́то́на) — закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики. Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года, опубликован в 1687 году в «Началах» Ньютона.

Закон гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами и , разделёнными расстоянием , действует вдоль соединяющей их прямой, пропорциональна каждой из масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния.

То есть:

Здесь  — гравитационная постоянная, равная: м³/(кг·с²).

Свойства ньютоновского тяготения

В ньютоновской теории каждое обладающее массой тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, называемое гравитационным полем.

Гравитационное взаимодействие в теории Ньютона распространяется мгновенно, так как сила тяготения зависит только от взаимного расположения притягивающихся тел в данный момент времени. Также для ньютоновских гравитационных сил справедлив принцип суперпозиции: сила тяготения, действующая на частицу со стороны нескольких других частиц, равна векторной сумме сил притяжения со стороны каждой частицы.

Ускорение, которое тело А приобретает под воздействием притяжения тела В, не зависит от массы тела А. Причина этого в том, что сила притяжения, действующая на тело А со стороны тела В, пропорциональна массе тела А — но ускорение, приобретаемое любым телом под действием любой силы, обратно пропорционально его массе по второму закону Ньютона; таким образом, увеличение массы тела А в равной мере увеличивает действующую на него силу и его сопротивление этой силе. В современной физике это свойство формулируют как равенство гравитационной и инертной масс.

В теории тяготения Ньютона ускорение точечного или маленького тела под действием гравитационной силы всегда в точности равно напряжённости гравитационного поля в точке, в которой находится телоУдобство использования физической величины напряженности связано с тем, что она не зависит от конкретного тела, помещаемого в данную точку (будет одинаковой, если мы поместим в эту точку разные тела разной массы) и, таким образом, является характеристикой только самого поля, не зависящего непосредственно от тела, на которое оно действует (косвенная зависимость может быть за счёт действия самого этого тела на тела-источники поля, и только при изменении в результате этого воздействия их положения)., определяемой как отношение .

Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела. Внутри сферически симметричной оболочки (имеющей сферическую полость или выделенной условно, являясь реально частью какого-то тела) поле, создаваемое еюТо есть речь не идет, конечно, об экранировке гравитационных полей, создаваемых другими источниками, которые могут находиться как внутри оболочки, так и вне её, а только лишь о том поле, которое создаётся самой оболочкой, именно его напряжённость равна нулю (а поля остальных источников тогда по принципу суперпозиции как раз останутся внутри сферической оболочки неизменными, как будто оболочки нет)., имеет нулевую напряжённость (и, соответственно, постоянный потенциал), то есть сферически симметричная оболочка не притягивает находящиеся внутри неё тела и вообще никак на них не действует посредством гравитации.

Из сказанного выше и третьего закона Ньютона вытекает утверждение, что на сферически симметричное тело гравитация сторонних источников действует в точности как на точечное тело той же массы, расположенное в центре симметрии. А отсюда следует, что и два сферически симметричных тела конечных размеров притягиваются так же, как точечные тела тех же масс, расположенные в их центрах. Это утверждение оказывается важным для небесной механики, ибо многие небесные тела имеют именно сферически симметричную форму (пусть и не точно), что, в дополнение к тому, что расстояния между небесными телами обычно во много раз превосходят их размеры, упрощает применение теории к ним, так как сила их взаимодействия (в соответствующем приближении, которое оказывается обычно очень хорошим), а соответственно, и ускорение, вычисляются столь же просто, как для материальных точек, — по формуле из преамбулы.

Гравитационное поле в теории Ньютона является потенциальным, в связи с этим для его описания можно использовать гравитационный потенциал В случае, если поле создаётся расположенной в начале координат точечной массой , гравитационный потенциал определяется формулой:

(здесь потенциал на бесконечности, как это делается обычно, принят равным нулю).

В общем случае, когда плотность вещества распределена произвольно, удовлетворяет уравнению Пуассона:

Решение данного уравненияЭто решение естественно получается используя формулу решения с одним точечным источником, приведенную выше, и принцип суперпозиции - то есть просто сложением полей от (бесконечного) множества точечных источников, массой каждый, расположенных в соответствующих точках пространства. записывается в виде:

Здесь  — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал,  — радиус-вектор элемента объёма c плотностью вещества , а интегрирование охватывает все такие элементы;  — произвольная постоянная; чаще всего её принимают равной нулю, как это сделано в формуле выше для одного точечного источника.

Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой , связана с потенциалом формулой:

Если поле создаётся точечной массой , расположенной в начале координат, то на точку массой действует сила

Величина этой силы зависит только от расстояния между массами, но не от направления радиус-вектора (см. формулу в преамбуле).

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.

Аналогия с электростатикой С точки зрения физики, гравитационное поле сильно отличается от электростатического — например, массы всегда притягиваются, а заряды могут и отталкиваться, в гравитации нет аналога таким эффектам, как электростатическая индукция Однако классические математические модели обеих теорий во многом сходны, а в ряде случаев даже тождественны. В связи с этим для ньютоновской гравитации применимы по сути все те теоретические конструкции и методы решения задач, которые применяются в электростатике. В этом, формальном (но математически вполне содержательном) смысле, можно сказать, что теория однаЭто утверждение не столько дело вкуса, сколько указание на то, что можно достаточно свободно пользоваться методами и результатами одной теории применительно к другой, невзирая на то, на электростатическом или гравитационном языке всё описано, соблюдая, конечно, минимально необходимую осторожность, когда дело касается их немногочисленных отличий и особенностей..

Среди теорем и методов, одинаково имеющих силу (и место для применения) в ньютоновской теории гравитации и электростатике, можно назвать теорему Гаусса, теорему Ирншоу, метод изображений, метод конформных отображений, полностью теорию потенциала, не говоря уже о принципе суперпозиции и других разного рода математических принципах и приёмах.

Ньютоновская гравитация гораздо более точно соответствует эксперименту, чем электростатика — она реже даёт существенную ошибку, и величина этой ошибки обычно гораздо меньше. Также можно заметить, что более общие теории для гравитации и электростатики (это соответственно ОТО и электродинамика) совершенно различны.

Точность закона всемирного тяготения Ньютона Экспериментальная оценка степени точности закона тяготения Ньютона является одним из подтверждений общей теории относительности.Д. Д. Иваненко, Г. А. Сарданашвили Гравитация, М.: Едиториал УРСС, 2004, ISBN 5-354-00538-8 Опыты по измерению квадрупольного взаимодействия вращающегося тела и неподвижной антенны показали10th International conference on General Relativity and Gravitation: Contribut. pap. — Padova, 1983. — Vol. 2, 566 p., что приращение в выражении для зависимости ньютоновского потенциала на расстояниях нескольких метров находится в пределах . Другие опыты также подтвердили отсутствие модификаций в законе всемирного тяготенияТезисы докладов Всесоюзной конференции «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». — М.: МГПИ, 1984. — 308 с..

Закон всемирного тяготения Ньютона в 2007 г. был проверен и на расстояниях, меньших одного сантиметра (от 55 мкм до 9,53 мм). С учётом погрешностей эксперимента в исследованном диапазоне расстояний отклонений от закона Ньютона не обнаруженоЮ. Н. Ерошенко Новости физики в сети Internet (по материалам электронных препринтов) , УФН, 2007, т. 177, № 2, с. 230.

В 2021 г. закон всемирного тяготения Ньютона был проверен для тел с массой 90 мг на расстояниях от 3 до 5 мм.Tobias Westphal, Hans Hepach, Jeremias Pfaff, Markus Aspelmeyer Measurement of gravitational coupling between millimetre-sized masses // Nature volume 591, pages 225–228, 2021ArXiv.org Tobias Westphal, Hans Hepach, Jeremias Pfaff, Markus Aspelmeyer Measurement of gravitational coupling between millimetre-sized masses .

Прецизионные лазерные дальнометрические наблюдения за орбитой ЛуныТурышев С. Г. «Экспериментальные проверки общей теории относительности: недавние успехи и будущие направления исследований» , УФН, 179, с. 3-34, (2009) подтверждают закон всемирного тяготения на расстоянии от Земли до Луны с точностью .

Связь с геометрией евклидова пространства Факт равенства с очень высокой точностью () показателя степени расстояния в знаменателе выражения для силы тяготения числу отражает евклидову природу трёхмерного физического пространства механики Ньютона. В трёхмерном евклидовом пространстве площадь поверхности сферы точно пропорциональна квадрату её радиуса.

Исторический очерк

Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и до Ньютона. Ранее о ней размышляли Эпикур, Гассенди, Кеплер, Борелли, Декарт, Роберваль, Гюйгенс и другие. Кеплер полагал, что тяготение обратно пропорционально расстоянию до Солнца и распространяется только в плоскости эклиптики; Декарт считал его результатом вихрей в эфире. Были, впрочем, догадки с правильной зависимостью от расстояния; Ньютон в письме к Галлею упоминает как своих предшественников Буллиальда, Рена и ГукаХод их рассуждений легко восстановить, см. Тюлина И. А., указ. статья, стр. 185. Как показал Гюйгенс, при круговом движении центростремительная сила (пропорциональна) , где  — скорость тела,  — радиус орбиты. Но , где  — период обращения, то есть . Согласно 3-му закону Кеплера, , поэтому , откуда окончательно имеем: .. Но до Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).Точнее, никто не смог это сделать последовательно для эллиптических орбит. Для круговых, используя третий закон Кеплера и формулу Гюйгенса для центробежной силы, это было сделать довольно нетрудно, и сам Ньютон вспоминал, что сделал это довольно давно, но никому не сообщал, так как был не удовлетворен неудачей тогда с решением общей задачи. Это же, видимо, позже, сделал Гук (это его письмо сохранилось), побудивший Ньютона вернуться к общей задаче. Гук же обосновал второй закон Кеплера, применив методологически важный в тот момент прием суперпозиции свободного движения и движения с ускорением, направленным к центру. Однако только Ньютон решил в итоге задачу полностью, для некруговых орбит, впервые корректно и доказательно теоретически получив их форму, он же первый всё полно и систематически изложил.. Кроме того, Ньютон пришёл к пониманию того, что гравитация универсальна: другими словами, одна и та же сила заставляет и яблоко падать на землю, и Луну вращаться вокруг Земли«Бог создал целые числа». Глава из книги. Elementy.ru, «Книжный клуб»..