Многочлен Джонса — полиномиальный инвариант узла, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению многочлен Лорана от формальной переменной с целыми коэффициентами. Построен Воном Джонсом в 1984 году.
Определение через скобку Кауффмана Для заданного ориентированного зацепления определяется вспомогательный многочлен: , где — число закрученности диаграммы , а — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков и числом отрицательных перекрёстков и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.
— инвариант узла, поскольку он инвариантен относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы . Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на , что в точности компенсируется изменением на +1 или −1 числа закрученности .
Многочлен Джонса определяется из подстановкой: , результирующее выражение является многочленом Лорана от переменной .
Определение через представления группы кос Оригинальное определение Джонса использует операторную алгебру и понятие следа представления кос, возникшего в статистической механике ().
утверждает, что любое зацепление является замыканием косы с нитями, в связи с этим можно определить представление группы кос с нитями на алгебре Темперли — Либа с коэффициентами из и . Стандартная образующая косы равна , где — стандартные образующие алгебры Темперли — Либа. Для слова косы вычисляется , где — след Маркова, в результате получается , где — скобочный полином.
Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление -матриц, можно прийти к обобщениям инвариантов Джонса (например, таковым являетсяMurakami J., The parallel version of polynomial invariants of links , Osaka J. Math., 1989. понятие -параллельного полинома Джонса).
Определение через скейн-соотношения Многочлен Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением: ,
где , , и — три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек:
Свойства Многочлен Джонса обладает многими замечательными свойствамиJones, V.F.R., A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras , Bull. Amer. Math. Soc., 12: 103—111, 1987.Дужин С. В., Чмутов С. В. Узлы и их инварианты, Матем. просв., 1999, выпуск 3, 59-93..
Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной в многочлене Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.
Многочлен Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть: . Многочлен Джонса несвязной суммы узлов равен: .
Многочлен Джонса объединения зацепления и тривиального узла равен: .
Для — ориентированного зацепления, получаемого из заданного ориентированного зацепления заменой ориентации некоторой компоненты на противоположную, имеет место: , где — это коэффициент зацепления компоненты и .
Многочлен Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).
Зеркально-симметричный образ зацепления имеет многочлен Джонса, получающийся заменой на (свойство легко проверяется с использованием определения через скобку Кауффмана).
Если — узел, тогда: .
Значение многочлена Джонса для зацепления с числом компонент зацепления в точке 1: .
Многочлен Джонса -торического узла: .
Открытые проблемы В 2003 году построено семейство нетривиальных зацеплений с многочленом Джонса равным многочлену Джонса тривиального зацепления, при этом неизвестно, существует ли нетривиальный узел, многочлен Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла. В 2017 году построено семейство нетривиальных узлов с пересечениями, для которых многочлен Джонса сравним с единицей по модулю .
Вариации и обобщения
Теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как многочлен Джонса.
В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (). Эта теория гомологий является категорификацией многочлена Джонса, то есть многочлен Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.
Многочлен HOMFLY — похожий инвариант узлов и зацеплений.
Примечания
Литература
Категория:Теория узлов Категория:Многочлены