Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией : для любой пары взятых в определённом порядке элементов определён новый элемент, называемый их произведением , причём для любых всегда выполнено . (В ряде источников в определение также включают требование непустоты.)
Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу , не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент и определив ; полученный моноид обычно обозначается как .
Виды полугрупп Полугруппа называется коммутативной (или абелевой), если для любых всегда выполнено .
Важные классы образуют полугруппы с сокращением: с левым сокращением, если при любых из всегда следует ; с правым сокращением, если при любых из всегда следует ; с двусторонним сокращением, если является полугруппой и с левым, и с правым сокращением одновременно.
Элемент полугруппы называется регулярным, если в найдется такой элемент , что . Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой.
Элемент полугруппы называется вполне регулярным, если в найдется такой элемент , что и . Вполне регулярная полугруппа — полугруппа, все элементы которой вполне регулярны.
Полугруппа , в которой для любых в всегда найдутся такие , что и , является группой.
Структура полугруппы Если , то принято обозначать .
Подмножество полугруппы называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из их произведение также принадлежало .
Если подмножество непусто и (соответственно, ) лежит в , то называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.
Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.
Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как: .
Для степени элемента справедливо соотношение .
Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов и определено правое и левое частное.
В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого ).
Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение из полугруппы в полугруппу называется гомоморфизмом, если . Две полугруппы и называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм .
Отношения Грина
В 1951 году ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе определяются следующими формулами: , , , , .
Из определения непосредственно следует, что — правая конгруэнция, а — левая конгруэнция. Также известно, что . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы и R-эквивалентны, , такие, что , и — соответствующие правые сдвиги, то — взаимно обратные биекции на и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.
Примечания
Литература
Категория:Общая алгебра