Тео́рия игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две или более стороны, преследующие свои интересы. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая ведёт к выигрышу или проигрышу в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать наилучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных действияхЭтим теория игр отличается от теории принятия решений.
Теория игр — раздел прикладной математики, точнее исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в международных отношениях, экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике, юриспруденции и других. Начиная с 1970-х годов, её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.
История Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж. Бертраном. В начале XX в. Эмануил Ласкер, Эрнст Цермело и Эмиль Борель выдвигают идею математической теории игрового конфликта интересов.
Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «» ().
Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгуA Beautiful Mind: A Biography of John Forbes Nash, Jr., Winner of the Nobel Prize in Economics 1998 Simon & Schuster, 1998. ISBN 0-684-81906-6 о судьбе Джона Форбса Нэша, лауреата премии по экономике памяти Альфреда Нобеля и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, , «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.
Джон Нэш в 1949 году пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами — бакалавра и магистра — поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счёт игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А. Смита, когда каждый сам за себя, не всегда оптимален. Более выгодны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.
Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели, вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.
В 1960—1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 — 30 лет значение теории игр и интерес к ней значительно растёт, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.
Исторически первыми в сферу интересов математиков попали игры с полной информацией, в которых относительно просто анализировать стратегию всех участников. Затем внимание исследователей привлекли «игры с неполной информацией». Проанализировав покер и остальные игры этого класса, математики попробовали применить математический аппарат к играм «глобального масштаба» — войнам, экономике и даже к обычным разводам.
Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако математический аппарат теории игр затратенС. 10. Дубина И. Н. Основы теории экономических игр: учебное пособие.- М.: КНОРУС, 2010. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т. п. Ряд известных учёных стали Нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш, благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.
Лауреатами премии по экономике памяти Альфреда Нобеля за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауман, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шепли, Элвин Рот, Жан Тироль, Пол Милгром, Роберт Уилстон.
Представление игр
Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации: наличие нескольких участников; неопределённость поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий; различие (несовпадение) интересов участников; взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников; наличие правил поведения, известных всем участникам.
Развёрнутая форма
Игры в развёрнутой формеНе отождествлять с позиционными играми, которые просто часто в такой форме представляют. представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.
На рисунке — игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает — выбрать стратегию A или R. Скорее всего, первый игрок выберет U, а второй — A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.
Развёрнутая форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.
Нормальная форма
В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей.В общем случае, во-первых, матрица не плоская, а n-мерная по числу игроков; а во-вторых, игру в нормальной форме игру можно перевести в функцию, вычисляющей выигрыши от выбранных стратегий. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы — это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы — второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок — вторую стратегию, то на пересечении мы видим (−1, −1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку.
Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли из-за незнания хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут рассмотрены ниже.
Характеристическая функция
В кооперативных играх с трансферабельной полезностью, то есть возможностью передачи средств от одного игрока к другому, невозможно применять понятие индивидуальных платежей. Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.
Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N \ C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2N, где N — количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игройот — профессиональный союз..) представляется парой (N, v), где N — множество всех игроков, а v : 2N → R — характеристическая функция.
Подобная форма представления может быть применена для всех игр, в том числе без трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести любую игру из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в обратную сторону возможно не во всех случаях.
Применение теории игр Теория игр — раздел прикладной математики, применяемый для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально она развивалась в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов. Позднее теория игр распространилась на другие социальные науки; сегодня она используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ для описания поведения животных впервые применил Рональд Фишер в 1930-х годах (хотя ещё Чарльз Дарвин использовал идеи, близкие к теоретико-игровым, без формального обоснования). Термин «теория игр» в работе Фишера не фигурирует; тем не менее, по существу, она выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Экономические разработки были использованы Джоном Мейнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр».
Описание и моделирование