Нулева́я ма́трица — это матрица, размера все элементы которой равны нулю. Она обозначается как или или
Признаки Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.
Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.
Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(m, n).
Свойства Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой:
Сумма матрицы и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице :
Разница матрицы и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице :
Произведение матрицы размера на нулевую матрицу размера равно нулевой матрице размера
Квадратная нулевая матрица n×n при является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:
Таким образом, такая матрица не имеет обратной.
Квадратная нулевая матрица является симметричной, и, как следствие, её транспонированная матрица равна ей самой:
Квадратная нулевая матрица является также кососимметричной:
Только нулевая матрица является одновременно и симметричной, и кососимметричной.
Последние два пункта дословно верны и в отношении эрмитовости и косоэрмитовости над полем комплексных чисел.
Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.
Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера: .
Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.
Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера и N размера таких, что существуют тогда и только тогда, когда . Для существования недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m × 0, так и 0 × n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n × n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда . Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n = 1 и n = 0.
Примечания
Литература
Категория:Типы матриц Категория:Ноль