Симплициальный компле́кс ; Русский орфографический словарь Российской академии наук / Отв. ред. В. В. Лопатин. — М., 2007., или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.
Определения
Симплициальный комплекс Симплициальный комплекс — топологическое пространство, представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу и образующих триангуляцию этого пространства.
Геометрический комплекс Это понятие является частным случаем предыдущего, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве.
Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве таких, что: с любым из симплексов в это множество входят все его грани; любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани; у любой точки комплекса есть окрестность такая, что если пересекается с симплексом комплекса , то .
Часто дополнительно требуют локальную конечность, то есть должно выполняться следующее условие: любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.
Абстрактный комплекс — это множество с выделенным набором его конечных подмножеств таких, что если и то .
При этом элементы множества называются вершинами комплекса, а элементы множества называются его симплексами.
Связанные определения n-мерным остовом комплекса называется подкомплекс, образованный всеми его симплексами размерности не более n. Размерность симплициального комплекса определяется как максимальная размерность его симплексов. Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S — некоторый набор симплексов в K.
Замыкание (обозначается ) есть наименьший подкомплекс в , содержащий каждый симплекс из . Замыкание может быть получено путём добавления к всех граней всех симплексов из .
Звезда от (обозначается ) — объединение звёзд всех симплексов в . Для одного симплекса звезда — это набор симплексов, имеющих своей гранью. (Звезда - S'', как правило, не является симплициальным комплексом).
Линк (обозначается ) может быть определён как
Это — подкомплекс, образованный всеми симплексами, входящими в симплексы большей размерности вместе с симплексом из но не имеющие граней из .
См. также Псевдомногообразие
Примечания
Литература Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)
Категория:Алгебраическая топология Категория:Комбинаторная геометрия