Фу́нкция Кёнигса связана с решением функционального уравнения
где — неизвестная функция, и — данные функция и константа. Обычно это уравнение (без особых исторических оснований) называют уравнением Шрёдера.
Пусть — аналитическая функция, и пусть , где , причем
.
Это значит, что является притягивающей неподвижной точкой функции . Пусть есть -я итерация функции :
при
Для всякого , принадлежащего некоторой окрестности точки , последовательность итераций сходится к .
Предположив также, что
можно показать, что в окрестности точки существует предел
который является в этой окрестности аналитической функцией переменной и обладает свойствами
Функция есть функция Кёнигса. Её ввел в 1884 французский математик Gabriel Xavier Paul Koenigs при исследовании функционального уравнения Шрёдера. Всякое аналитическое в окрестности точки решение уравнения Шрёдера, в котором , отличается от только постоянным множителем.
Впервые в математике функцию Кёнигса по существу вычислял Генри Бригс при составлении таблиц логарифмов. Если и , то решением соответствующего уравнения Шрёдера
,
является для любого , так что , где — произвольная константа. Метод вычисления функции у Бриггса есть численная реализация предельного перехода в приведенном выше определении функции Кёнигса. Он был опубликован в 1624 году в книге Бригса «Логарифмическая арифметика».
Примечания
Литература Briggs H. Arithmetica logarithmica. Londini, 1624 Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.-Л.: ОНТИ, 1938. Koenigs G. Recherches sur les intégrals de certaines équations fontionnelles. Ann. École Normale, Suppl., 1884, (3)1. Montel P. Leçons sur les récurrences et leurs applications. Paris, 1957. Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25—51. Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций. // Матем. сборник, т. 193 (2002), № 7, с. 69-86.
Категория:Функциональные уравнения Категория:Вычислительная математика