Гомоморфизм (от — равный, одинаковый и — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем, то есть отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные отношения.
Определение Отображение называется гомоморфизмом групп , , если оно одну групповую операцию переводит в другую: , то есть образ произведения равен произведению образов.
Понятие гомоморфизма как соотношение между парой алгебраических систем начало использоваться в работах немецкого математика Фробениуса, а обобщённое определение было сформулировано Эмми Нётер в 1929 году. Частными случаями гомоморфизма являются изоморфизм и автоморфизм. Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма, предложена известной группой французских математиков Николя Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава IV, § 2).
Связанные определения Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов. Ядро гомоморфизма для гомоморфизма абелевых групп (в частности, для колец, векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля, для общих групп — прообраз единицы.
Свойства Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).
Типы гомоморфизмов Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм Биморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм Изоморфизм — гомоморфизм с наличием обратного гомоморфизма Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество Автоморфизм — изоморфизм на само множество
См. также Псевдохарактер Факторгруппа
Примечания
Литература Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, с. 332 (1974, с. 373).
Категория:Общая алгебра