Тернарная операция (от — трёхкратный; трёхместная операция) — математическая операция, имеющая три операнда (арности 3). Среди используемых тернарных операций — смешанное векторное произведение, двойное векторное произведение, условная дизъюнкция, во многих языках программирования используется тернарная условная операция (возвращающая свой второй или третий операнд в зависимости от логического значения первого операнда).
Кроме префиксной нотации вида для тернарных операций широко применяется скобочная, например, для двойного векторного произведения и условной дизъюнкции, а также инфиксная, как, например, для тернарной условной операции .
Из возможных свойств бинарных операций для тернарных могут иметь смысл обобщённая коммутативность (независимость от перестановки операндов: , таково, например, используемое в полных сумматорах тернарное сложение по модулю 2) и обобщённая ассоциативность (независимость от очерёдности применения: ). Для операций с инфиксной записью в языках программирования для определения очерёдности применения чаще используется правило правой ассоциативности, то есть интерпретируется как ; но встречаются исключенияНапример, в PHP до версии 8.0 использовалось правило левой ассоциативности для тернарного условного оператора. Свойство кососимметричности также естественным образом может быть распространено на тернарные операции, им обладает, например, операция смешанного произведения.
Существенная роль тернарных алгебр предполагалась в рамках теории и , разработанной в 1930-е годы и позднее развитой Виктором Вагнером: полугруды, определяемые как алгебры с одной тернарно-ассоциативной операцией, и груды, операция в которых дополнительно обладает свойствами и , рассматривались в том числе как фундаментальные структуры для оснований дифференциальной геометрии. В 1961 году установлено, что полугруда и груда фактически эквиваленты соответственно полугруппе с инволюцией и группе (при задании умножения и обращения следующим образом: и , где — произвольный элемент, обладающий свойством биунитарности ), и таким образом не представляют самостоятельного содержательного интереса. Возрождение интереса к полугрудам и связанным с ними тернарным алгебрам в 2010-е годы обусловлено обнаружением применений в квантовой механике.
В теории дистрибутивных решёток большое значение имеет тернарная операция медианы, определяемая как: , являющаяся самодвойственной и (тернарно) коммутативной. В частности, если на множестве с выделенными элементами и задана тернарная операция , удовлетворяющая условиям медианы: , , , то она однозначно определяет дистрибутивную решётку следующим заданием операций взятия верхней и нижней грани: , .
Другой пример из общей алгебры — — алгебра над векторным пространством над полем с -трилинейной операцией с некоторыми свойствами; введены Джекобсоном в 1949 году, им же изучены лиевы тернары, удовлетворяющие тождествам: (кососимметричность), (тождество Якоби), , и йордановы тернары, обладающие свойствами: (коммутативность относительно второго и третьего операндов) .
Примечания
Литература