Алгебра над полем — векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.
Определение Пусть — векторное пространство над полем , снабжённое операцией , называемой умножением. Тогда является алгеброй над , если для любых выполняются следующие свойства:
.
Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение: Алгебра с единицей над полем — это кольцо с единицей , снабжённое гомоморфизмом колец с единицей , таким, что принадлежит центру кольца (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что является векторным пространством над со следующей операцией умножения на скаляр : .
Связанные определения
Подалгебра алгебры над полем — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй линейной алгебры над полем называется её подмножество если оно является подкольцом кольца и подпространством линейного пространства Скорняков Л. А. Элементы алгебры. — М., Наука, 1986. — с. 190. Элемент алгебры называется алгебраическим, если он содержится в конечномерной подалгебре. Алгебра называется алгебраической, если все её элементы алгебраические.
Гомоморфизм -алгебр — -линейное отображение, такое что для любых из области определения.
Левый идеал -алгебры — линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
Алгебра с делением — алгебра над полем, такая что для любых её элементов и уравнения и разрешимыКузьмин Е. Н. Алгебра с делением . В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
Центр алгебры — множество элементов , таких что для любого элемента .
Примеры
Ассоциативные алгебры Комплексные числа естественным образом являются двумерной алгеброй над вещественными числами. Кватернионы являются четырёхмерной алгеброй над вещественными числами. Предыдущие два примера являются полем и телом соответственно, и это не случайно: любая конечномерная алгебра над полем, не имеющая делителей нуля, является алгеброй с делением. Действительно, умножение на слева является линейным преобразованием этой алгебры как векторного пространства, у этого преобразования нулевое ядро (так как не является делителем нуля), следовательно, оно сюръективно; в частности, существует прообраз произвольного элемента , то есть такой элемент , что = . Второе условие доказывается аналогично. Коммутативная (и бесконечномерная) алгебра многочленов . Алгебры функций, такие как -алгебра вещественнозначных непрерывных функций, определённых на интервале (0, 1), или -алгебра голоморфных функций, определённых на зафиксированном открытом подмножестве комплексной плоскости. Алгебры линейных операторов на гильбертовом пространстве.
Неассоциативные алгебры Алгебры Кэли, или октавы. Общие алгебры Ли. Йордановы алгебры. Альтернативные алгебры.
Структурные коэффициенты Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем достаточно указать её размерность и структурных коэффициентов , являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:
где — некоторый базис . Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.
Если — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра является свободным модулем.
См. также Дифференциальная алгебра Тензорное произведение алгебр
Примечания
Литература