G-функция Барнса (обычно обозначаемая ) — функция, которая расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. -функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма БарнсаE.W. Barnes, «The theory of the G-function», Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264—314..
Определение
Формально -функция Барнса определяется в виде произведения Вейерштрасса
где — постоянная Эйлера—Маскерони.
Свойства Разностное уравнение -функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению
Функциональные уравнения Дифференциальное и функциональное уравнение для -функции, Гамма-функции и K-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для -функции, доказанным Германом Кинкелином:
Формула умножения Схожая с Гамма-функцией, -функция также имеет формулу умноженияI. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions, SIAM J. Math. Anal. 19, 493—507 (1988).:
где является константой, от n:
Здесь — это дзета-функция Римана, — это постоянная Глейшера—Кинкелина.
Частный случай этой формулы при n=2:
Целочисленные значения Для любого целого неотрицательного n верно: , где — суперфакториал .
если принять, что . В дифференциальном уравнении подразумевается, что принимает следующие значение при целых значениях аргумента:
Аналог теоремы Бора — Моллерупа Согласно аналогу теоремы Бора — Моллерупа, G-функции Барнса единственная функция , которая обладает 2 свойствами
и для
при .
G-функция Барнса от комплексного переменного
Комплексно сопряженная G-функция Барнса от z равна G-функция Барнса от комплексно сопряженного аргумента z , таким образом . Из этого соотношения и представленной выше формулы произведения Вейерштрасса можно показать
Это отношение справедливо для произвольных , и . Если , тогда формулу можно записав в более простом виде:
для любого вещественного y.
Логарифм G-функция Барнса Асимптотическое формула G-функция Барнса имеет следующее асимптотическое разложение, установленное Барнсом:
где — числа Бернулли. Интегральное представление Интегральное представление, которое можно вывести из отношения к двойной гамма-функции:
где — гиперболический синус. Представление в виде ряда Тейлора По теорема Тейлора, и учитывая логарифмическую производные из функции Барнса можно получить следующее разложение в ряд:
где — Дзета-функция Римана.
Частные значения G-функция Барнса целых аргументов выражается через элементарные функции. В частности
Так же были найдены значения для полу-целых аргументов
Примечания
Категория:Специальные функции