K-функция — математическая функция, обычно обозначаемая , является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел, подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала.
Определение Интегральное определение Формально, K-функция определяется как .
Определение через полигамма-функцию K-функция определяется через полигамма функцию:
И сбалансированную полигамма-функцию:
Где — постоянная Глейшера — Кинкелина
Определение в замкнутой форме K-функция в замкнутой форме определяется как:
где обозначает производную дзета-функции Римана, — это дзета-функция Гурвица и
Определение через произведение Вейерштрасса K-функцию можно определить в виде произведения по Теорема Вейерштрасса о целых функциях
Свойства Рекуррентная формула Основное свойство K-функции, по аналогии с гамма-функцией — это её рекуррентное уравнение:
Функциональные уравнения K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса для всех комплексных :
Также для K-функции есть аналог формулы дополнения
Формула умножения Формула умножения K-функция схожа с формулой умножения гамма-функции:
Даная формула выражается через число постоянную Глейшера — Кинкелина
Интегральное уравнение Для любого
Пусть
Продифференцируем функцию по :
Применяя свойство логарифма, получаем
По основному свойству K-функции , тогда:
Проинтегрируем левую и правую части:
Теперь рассмотрим
Тогда
Целочисленные значения Для любого целого неотрицательного n верно: , где — гиперфакториал В 2003 году Бенуа Клуатре показал следующую формулу, выражающую K-функция натурального числа через определитель матрицы вида:
.
Экстремум функции Для положительных аргументов принимает минимальное значение в точке
Частные значения Значение K-функция было найдено только для целых и полуцелых аргументов. В частности
См. также G-функция Барнса Бета-функция Гиперфакториал Ссылки К-функция на mathworld Категория:Специальные функции