В теории динамических систем, динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем.
Определения Динамическая система называется минимальной, если для любого замкнутого , либо пусто, либо совпадает со всем .
Поскольку замыкание любой орбиты является инвариантным множеством, то определение можно эквивалентно переформулировать следующим образом: динамическая система минимальна, если любая её орбита всюду плотна.
Также, инвариантное подмножество фазового пространства системы называется минимальным множеством, если ограничение системы на него минимально.
Свойства Минимальная система либо состоит из одной орбиты, либо не имеет ни неподвижных точек, ни периодических орбит. Минимальный диффеоморфизм окружности эргодичен (теорема Катка-Эрмана).
Примеры Иррациональный поворот минимален. Сдвиг на постоянный вектор на торе минимален тогда и только тогда, когда координаты вектора сдвига и единица линейно независимы над . Диффеоморфизм окружности минимален тогда и только тогда, когда он сопряжён иррациональному повороту. Существует сохраняющий меру Лебега диффеоморфизм двумерного тора, который минимален, но не эргодичен (пример Фюрстенберга).
Литература
Категория:Динамические системы