Задача Кеплера вообще представляет собой проблему отыскания движения двух сферически-симметричных тел, взаимодействующих гравитационно. В классической теории тяготения решение этой проблемы было найдено самим Исааком Ньютоном: оказалось, что тела будут двигаться по коническим сечениям, в зависимости от начальных условий — по эллипсам, параболам или гиперболам. В рамках общей теории относительности (ОТО) с пуристической точки зрения эта задача представляется плохо поставленной, так как модель абсолютно твёрдого тела невозможна в релятивистской физике (см. Парадокс Белла, Твёрдость по Борну), а не абсолютно твёрдые тела не будут при взаимодействии сферически-симметричными. Другой подход включает переход к точечным телам, правомерный в ньютоновской физике, но вызывающий проблемы в ОТО. Помимо этого, кроме положений и скоростей тел необходимо задать также и начальное гравитационное поле (метрику) во всём пространстве — проблема начальных условий в ОТО. В силу указанных причин точного аналитического решения задачи Кеплера в ОТО не существует (аналогично задаче трёх тел в ньютоновской теории тяготения), но есть комплекс методов, позволяющих рассчитать поведение тел в рамках данной задачи с необходимой точностью: приближение пробного тела, постньютоновский формализм, численная относительность.

Исторический контекст

В 1859 году французский астроном, директор Парижской обсерватории Урбен Жан Жозеф Леверье нашёл, что прецессия орбиты Меркурия, определённая из наблюдений, не совсем совпадает с теоретически предсказанной — перигелий орбиты движется чуть быстрее, чем следует из теории Ньютона после учёта всех межпланетных возмущений. Эффект был малым — 38" в столетие, но значительно превышал ошибки измерений — примерно 1". Значение открытия было велико и многие физики, астрономы и небесные механики XIX века занимались этим вопросом. Было предложено множество решений в рамках классической физики, самыми известными были: наличие невидимого облака межпланетной пыли вблизи Солнца, сплюснутость (квадрупольный момент) Солнца, ненайденный спутник Меркурия или новая более близкая к Солнцу планета ВулканМари-Антуанетт Тоннела ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА И ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ МОСКВА: ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1962. Глава II, § 1.2.. Так как ни одно из этих объяснений не выдержало проверки наблюдениями, некоторые физики начали выдвигать более радикальные гипотезы, что необходимо изменять сам закон тяготения, например, менять в нём показатель степени или добавлять в потенциал члены, зависящие от скорости телА. Ф. Богородский Всемирное тяготение Киев: Наукова думка, 1971. Глава 2..

Однако большинство таких попыток оказались противоречивыми. В своих трудах по небесной механикеP. S. Laplace Mecanique celeste, 4, livre X Paris, 1805. Лаплас показал, что если гравитационное взаимодействие между двумя телами не действует мгновенно (что эквивалентно введению потенциала, зависящего от скоростей), то в системе движущихся планет не будет сохраняться импульс — часть импульса будет передаваться гравитационному полю, аналогично тому, как это происходит при электромагнитном взаимодействии зарядов в электродинамике. С ньютоновой точки зрения, если гравитационное воздействие передаётся с конечной скоростью и не зависит от скоростей тел, то все точки планеты должны притягиваться к точке, где Солнце было несколько раньше, а не к одновременному его месторасположению. На этом основании Лаплас показал, что эксцентриситет и большие полуоси орбит в задаче Кеплера с конечной скоростью гравитации должны расти со временем — испытывать вековые изменения. Из верхних пределов на изменения этих величин, следующие из устойчивости Солнечной системы и движения Луны, Лаплас показал, что скорость распространения гравитационного ньютонова взаимодействия не может быть ниже 50 миллионов скоростей светаPais 1982.

Сообщается ли притяжение от одного тела к другому мгновенно? Время передачи, если бы оно было для нас заметно, обнаружилось бы преимущественно вековым ускорением в движении Луны. Я предлагал это средство для объяснения ускорения, замеченного в упомянутом движении, и нашёл, что для удовлетворения наблюдениям должно приписать притягательной силе скорость в семь миллионов раз большую, чем скорость светового луча. А так как ныне причина векового уравнения — Луны хорошо известна, то мы можем утверждать, что притяжение передаётся со скоростью, по крайней мере в пятьдесят миллионов раз превосходящей скорость света. Поэтому, не опасаясь какой либо заметной погрешности, мы можем принимать передачу тяготения за мгновенную.

Метод Лапласа корректен для прямых обобщений ньютоновой гравитации, но может быть не применим к более сложным моделям. Так, например, в электродинамике движущиеся заряды притягиваются/отталкиваются не от видимых положений других зарядов, а от положений, которые они занимали бы в настоящее время, если бы двигались от видимых положений равномерно и прямолинейно — это является свойством потенциалов Лиенара — ВихертаФейнман разбирает эту проблему в 6 томе Фейнмановских лекций по физике, глава 21, § 1.. Аналогичное рассмотрение в рамках общей теории относительности приводит к такому же результату с точностью до членов порядка А. Ф. Богородский Ibid. Глава 5, параграф 15..

В попытках избежать изложенных проблем между 1870 и 1900 годами множество учёных пытались использовать законы гравитационного взаимодействия, основанные на электродинамических потенциалах Вебера, Гаусса, Римана и Максвелла. В 1890 году Леви удалось получить стабильные орбиты и нужную величину сдвига перигелия путём комбинации законов Вебера и Римана. Другая успешная попытка была предпринята П. Гербером в 1898 году. Тем не менее, так как исходные электродинамические потенциалы оказались неверными (например, закон Вебера не вошёл в окончательную теорию электромагнетизма Максвелла), эти гипотезы были отвергнуты как произвольные. Некоторые другие попытки, такие как теория Г. Лоренца (1900 год), которые уже использовали теорию Максвелла, давали слишком малую прецессию.

Около 1904—1905 годов работы Х. Лоренца, А. Пуанкаре и А. Эйнштейна заложили фундамент специальной теории относительности, исключив возможность распространения любых взаимодействий быстрее, чем со скоростью света. Таким образом, встала задача заменить ньютоновский закон гравитации на другой, совместимый с принципом относительности, но дающий при малых скоростях и гравитационных полях почти ньютоновские эффекты. Такие попытки были сделаны А. Пуанкаре (1905 и 1906), Г. Минковским (1908) и А. Зоммерфельдом (1910). Однако все рассмотренные модели давали слишком малую величину сдвига перигелия.

В 1907 году Эйнштейн пришёл к выводу, что для описания гравитационного поля необходимо обобщить тогдашнюю теорию относительности, сейчас называемую специальной. От 1907 по 1915 год Эйнштейн последовательно шёл к новой теории, используя в качестве путеводного свой принцип относительности. Согласно этому принципу однородное гравитационное поле действует одинаковым образом на всю материю и, следовательно, не может быть найдено свободно падающим наблюдателем. Соответственно, все локальные гравитационные эффекты воспроизводимы в ускоренно движущейся системе отсчёта и наоборот. Поэтому гравитация действует как сила инерции, возникающая из-за ускорения системы отсчёта, — такая как центробежная сила или сила Кориолиса; подобно всем этим силам гравитационная сила пропорциональна инертной массе. Как следствие этого обстоятельства получается, что в различных точках пространства-времени инерциальные системы отсчёта имеют ускорения друг относительно друга. Это возможно описать, только если пожертвовать классическим предположением о том, что наше пространство описывается евклидовой геометрией, и перейти к искривлённому пространству римановой геометрии. Более того, искривлённой оказывается связь пространства и времени, которая и проявляется как сила гравитации в обычных условияхНьютоновскую теорию тяготения можно сформулировать как искривление этой связи, см. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977. Том 1. Глава 12.. После восьми лет работы (1907—1915) Эйнштейн нашёл закон, показывающий, как пространство-время искривляется находящейся в нём материей — уравнения Эйнштейна. Гравитация отличается от сил инерции тем, что вызывается кривизной пространства-времени, которая может быть измерена инвариантно. Первые же решения полученных уравнений, полученные Эйнштейном (приближённо) и Шварцшильдом (точно), объяснили аномальную прецессию Меркурия и предсказали удвоенную величину отклонения света по сравнению с предыдущими эвристическими оценками. Это предсказание теории было подтверждено в 1919 году английскими астрономами.

Приближение пробного тела

В этом подходе считается, что масса одного тела m пренебрежимо мала по сравнению с массой второго M; это неплохое приближение даже для планет, вращающихся вокруг Солнца, и практически идеальное для космических аппаратов. В таком случае можно считать, что первое тело является пробным, то есть оно не вносит возмущений в гравитационное поле второго тела, а лишь следует по геодезическим линиям формируемого вторым телом пространства-времени. Так как обычно задача двух тел рассматривается в масштабах, намного меньше космологических, то влиянием лямбда-члена на метрику можно пренебречь и гравитационное поле любого сферически-симметричного тела будет даваться решением Шварцшильда. Движение лёгкого тела, называемого в дальнейшем частицей, таким образом происходит по геодезическим линиям пространства Шварцшильда, если пренебречь приливными силами и реакцией гравитационного излучения.

Именно в этом приближении Эйнштейном была впервые вычислена аномальная прецессия перигелия Меркурия, что послужило первым подтверждением общей теории относительности и решило одну из известнейших на тот момент проблем небесной механики. Это же приближение достаточно точно описывает отклонение света, другое знаменитое явление, предсказанное общей теорией относительности. В то же время оно не достаточно для описания процесса релятивистского сокращения орбит из-за гравитационного излучения.

Геометрическое введение В обычной евклидовой геометрии верна теорема Пифагора, которая утверждает, что квадрат расстояния ds² между двумя бесконечно близкими точками в пространстве равен сумме квадратов дифференциалов координат

где dx, dy и dz представляют собой бесконечно малые разности между координатами точек по осям x, y и z декартовой системы координат. Теперь представим себе мир, в котором это уже неверно, а расстояния задаются соотношением

где F, G и H — некоторые функции положения. Это нетрудно вообразить, так как мы живём в таком мире: поверхность Земли изогнута, так что её нельзя без искажений представить на плоской карте. Недекартовы координатные системы также могут быть примером: в сферических координатах (r, θ, φ) евклидово расстояние записывается как

Наконец, в общем случае мы должны допустить, что линейки могут менять свою координатную длину не только при смене положения, но и при поворотах. Это приводит к появлению перекрёстных членов в выражении для длины

где 6 функций gxx, gxy и так далее преобразуются при смене координат как компоненты тензора, называемого метрическим (или просто метрикой), который определяет все характеристики пространства в этой обобщённой римановой геометрии. В сферических координатах, например, в метрике нет перекрёстных членов, а единственные её ненулевые компоненты — это grr = 1, gθθ = r² и gφφ = r² sin² θ.

Отметим специально, что после задания метрического тензора в какой-то системе координат вся геометрия риманова пространства оказывается жёстко заданной, и не меняется при преобразованиях координат. Проще говоря, координаты — это произвольные числа, которые лишь указывают на точку пространства, а расстояние, измеренное физической линейкой между двумя зафиксированными точками, не зависит от того, какие координаты мы им присваиваем — является инвариантом при смене координатных сеток.