Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, аналог теоремы косинусов.
Формулировка
Между сторонами a, b, c, d, углами противоположными друг другу, и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:
Замечание Эквивалентные формулировки:
Доказательство
Следствия Если четырёхугольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается теорема Стюарта. Если четырёхугольник вырождается в треугольник и одна вершина попадает на середину стороны, то с учётом равенства основного угла и дополнительного также получается Теорема Аполлония. Если четырёхугольник вписан в окружность, то . Тогда из предпоследней формулы выше следует первая теорема Птолемея: . Если D — центр описанной окружности треугольника ABC, то . Используя теорему об углах вписанных в окружность, получим теорему косинусов для треугольника ABC.
См. также Теорема Птолемея Четырёхугольник Формула Брахмагупты Формула Бретшнайдера
Литература
Категория:Планиметрия Категория:Четырёхугольники Бретшнайдера