Верзие́ра (иногда ло́кон Анье́зи) ( — ведьма Аньези; — ведьма с итальянского) — плоская кривая, геометрическое место точек , для которых выполняется соотношение , где — диаметр окружности, — полухорда этой окружности, перпендикулярная . Своё название верзиера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.
Устаревший термин верзье́ра Анье́зи.
Обобщения верзиеры: аньезиана — прямая занимает произвольное положение, перпендикулярное ; агвинея Ньютона — не только прямая , но и полюс занимает произвольное положение на .
История
Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзиерой (, от ), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.
В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзиерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch). Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.
Синонимы В источниках встречаются следующие синонимы верзиеры. Наиболее известный синоним — локон Аньези (). Это курьезное название, возможно, исторически не обосновано. Естественное название по классификации кривой — кубика Аньези (). Естественное название по форме кривой — колоколообразная кривая Коши (). Устаревшие названия: верзьера Аньези; аньезера ; версьера .
Уравнения
В прямоугольной системе координат:
Параметрическое уравнение:
где — угол между и
В полярной системе уравнение верзиеры достаточно сложное, чтобы найти его, необходимо решить кубическое уравнение:
Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.
Свойства Свойства верзиеры: верзиера — кривая третьего порядка; диаметр — единственная ось симметрии кривой; кривая имеет один максимум и две точки перегиба в окрестности вершины верзиера приближается к окружности диаметра . В точке происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке : площадь под графиком . Она вычисляется интегрированием уравнения по всему объём тела вращения верзиеры вокруг своей асимптоты (оси )
Построение
Строится окружность диаметра и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится произвольная прямая через выбранную точку касательной, которая пересекается с окружностью и касательной прямой в точке окружности, противоположной началу координат. Через точку пересечения произвольной прямой с окружностью строится прямая, параллельная касательным. Точка верзиеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра, опущенного из точки пересечения произвольной прямой к касательной в точке, противоположной началу координат (см. рисунок справа).
Интересные факты Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзиерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.
Примечания
Источники
Ссылки
Категория:Кривые