В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:
Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.
Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.
Альтернативные определения Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
Также верно соотношение: , где — дигамма-функция, — постоянная Эйлера — Маскерони. Еще соотношения:
где в точке - верхняя конечная разность n-го порядка функции . Дополнительные представления Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда): интегральные представления:
предельные представления:
разложение в ряд Тейлора в точке :
где — дзета-функция Римана; асимптотическое разложение: .
Производящая функция
Свойства
Значения от нецелого аргумента
где — золотое сечение.
Суммы, связанные с гармоническими числами
Cуществует общая формула суммирования целого класса рядов, содержащих гармонические числа:
Из выражения выше вытекают следующие соотношения:
Другая общая формула суммирования:
Прочие знакопеременные ряды:
Тождества, связанные с гармоническими числами
, где , где
Гармонические числа в разложениях функций в ряды Используя , нетрудно установить, что, например
Кроме того, они появляются и в некоторых рядах Фурье, в том числе , и в прочих степенных рядах:
Гармонические числа в результатах интегрирования
Пределы, связанные с гармоническими числами
Приближённое вычисление
С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:
где , — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений, а — числа Бернулли.
Теоретико-числовые свойства
Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа выполняется сравнение:
Некоторые значения гармонических чисел
Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой -e гармоническое число, являются -ми членами целочисленных последовательностей и , соответственно.
Приложения В 2002 году Lagarias доказал, что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство
верно при всех целых со строгим неравенством при , где — сумма делителей числа .
Обобщения Обобщённые гармонические числа Гипергармонические числа Гармонические числа Романа
См. также Теорема Вольстенхольма
Примечания
Категория:Теория чисел Категория:Специальные функции