Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Установлена японским математиком Ито Киёси в 1951 годуItô, Kiyoshi (1951). «On a formula concerning stochastic differentials». Nagoya Math. J. 3: 55–65. doi:10.1017/S0027763000012216.. Независимо и ранее её вывел , изложив результат в запечатанном письме во Французскую академию наук (1940), вскрытом лишь в 2000 годуBru, Bernard; Yor, Marc (2002). «Comments on the life and mathematical legacy of Wolfgang Doeblin». Finance and Stochastics. 6 (1): 3–47. doi:10.1007/s780-002-8399-0..
Определение Дан случайный процесс , заданный на фильтрованном вероятностном пространстве с потоком .
Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение , или, в интегральной форме,
где — броуновское движение, а второй интеграл понимается в смысле стохастического интеграла Ито.
Пусть — функция класса , то есть имеющая непрерывные производные
Тогда при каждом с вероятностью 1 справедлива формула Ито:
Слагаемое — так называемая поправка Ито — возникает из-за ненулевой броуновского движения () и принципиально отличает стохастическое исчисление от классическогоMalliaris, A. G. (1982). Stochastic Methods in Economics and Finance. New York: North-Holland. pp. 220–223. ISBN 0-444-86201-3..
Многомерное обобщение
Пусть — вектор-процесс, компоненты которого удовлетворяют СДУ
где — стандартное -мерное броуновское движение с независимыми компонентами. Пусть . Тогда:
где .
Примечания
См. также Стохастическое дифференциальное уравнение Интеграл Ито
Формула Фейнмана — Каца Уравнение Колмогорова — Чепмена Уравнение Фоккера — Планка
Ссылки Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
Категория:Случайные процессы Категория:Теоремы теории вероятностей и математической статистики