В математике, в области теории групп, локально конечная группа — это группа, определенным образом (как индуктивный предел) конструирующаяся из конечных групп. Как и для конечных групп, для локально конечных групп изучаются подгруппы Силова, подгруппы Картера и т. п.
Определения Чаще всего употребляются следующие определения:
Локально конечной группой называется группа, каждая конечно порожденная подгруппа которой является конечной.
Локально конечной группой называется группа, у которой каждое конечное подмножество содержится в конечной подгруппе.
Эти определения равносильны.
Примеры Примеры: Конечная группа является локально конечной. Прямая сумма конечных групп является локально конечной. Квазициклическая группа является локально конечной. Гамильтонова группа является локально конечной. Периодическая линейная группа является локально конечной. Разрешимая периодическая группа является локально конечной. .
Свойства Теорема Шмидта: класс локально конечных групп замкнут относительно взятия подгрупп, факторгрупп и расширений.
У всякой группы единственная максимальная локально конечная подгруппа.
Всякая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву подгруппу.
Если локально-конечная группа содержит конечную максимальную p-подгруппу, то все её максимальные p-подгруппы сопряжены, причём если их количество конечно, то оно сравнимо с 1 по модулю p (см. также Теоремы Силова).
Если каждая счётная подгруппа локально конечной группы содержит не более чем счётное количество максимальных p-подгрупп, то все её максимальные p-подгруппы сопряжены.
См. также Задача Бёрнсайда
Примечания
Ссылки
Категория:Теория групп