Теоре́ма Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс. Сформулирована и доказана И. С. Кёнигом в 1751 г.
Формулировка Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:
где — полная кинетическая энергия системы, — кинетическая энергия движения центра масс, — относительная кинетическая энергия системы.
Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её движении относительно центра масс.
Более точная формулировка:
Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.
Вывод Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему , распределены непрерывно.
Найдём относительную кинетическую энергию системы , трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть — радиус-вектор рассматриваемой точки системы в подвижной системе координат. Тогда:
где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.
Если — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а — радиус-вектор рассматриваемой точки системы в исходной системе координат, то верно соотношение:
Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:
Учитывая, что радиус-вектор одинаков для всех , можно, раскрыв скобки, вынести за знак интеграла:
Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироваться как кинетическая энергия движения центра масс.
Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём равен импульсу системы относительно центра масс, который равен нулю.
Третье же слагаемое, как было уже показано, равно , то есть относительной кинетической энергии системы .
См. также Иоганн Самуэль Кёниг Теорема о движении центра масс системы Кинетическая энергия Закон сохранения энергии
Примечания
Литература
Категория:Законы классической механики Категория:Физические теоремы Кёнига