Алгоритм Монтгомери — приём, позволяющий ускорить выполнение операций умножения и возведения в квадрат, необходимых при возведении числа в степень по модулю, когда модуль велик (порядка сотен бит). Был предложен в 1985 году Питером Монтгомери.
По данным целым числам a, b < n, r, НОД алгоритм Монтгомери вычисляет
В приложениях обычно берётся , так как в этом случае деление с остатком и умножение на , используемые внутри алгоритма, происходят быстро.
Умножение Монтгомери Определим n-остаток (n-residue) числа как .
Алгоритм Монтгомери использует свойство, что множество является полной системой вычетов, то есть содержит все числа от 0 до n-1.
MonPro вычисляет . Результат является n-остатком от , так как
Определим n' так, что . и можно вычислить с помощью расширенного алгоритма Евклида.
Функция 1. 2. 3. while 4. return
При операции умножения и деления на выполняются очень быстро, так как представляют собой просто сдвиги бит, а при цикл в строчке 3 выполнится не более одного раза. Таким образом алгоритм Монтгомери быстрее обычного вычисления , которое содержит деление на n. Однако вычисление n' и перевод чисел в n-остатки и обратно — трудоёмкие операции, вследствие чего применять алгоритм Монтгомери при однократном вычислении произведения двух чисел представляется неразумным.
Возведение в степень Монтгомери Использование алгоритма Монтгомери оправдывает себя при возведении числа в степень по модулю .
Функция 1. 2. 3. for i=j-1 downto 0
if then 4. return
Возведение числа в степень битовой длины k алгоритмом «возводи в квадрат и перемножай» включает в себя от k до 2k умножений, где k имеет порядок сотен или тысяч бит. При использовании алгоритма возведения в степень Монтгомери объём дополнительных вычислений фиксирован (вычисления , , в начале и в конце), а операция MonPro выполняется быстрее обычного умножения по модулюAnalyzing and Comparing Montgomery Multiplication Algorithms , поэтому алгоритм возведения в степень Монтгомери даст выигрыш в производительности по сравнению с алгоритмом «возводи в квадрат и перемножай».
Примечания
Литература Analyzing and Comparing Montgomery Multiplication Algorithms
Категория:Теоретико-числовые алгоритмы Категория:Длинная арифметика