О́бласть Зи́геля — неограниченная область в комплексном аффинном пространстве, по сути аналог верхней полуплоскости в случае одного комплексного переменного, основанная на вещественном открытом выпуклом конусе .
Эта область названа в честь немецкого математика К. Зигеля, впервые использовавшего некоторый её частный случай в 1939 году.
Верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля.
Наиболее простые области Зигеля называются областями Зигеля 1-го рода, сложнее — 2-го рода и ещё сложнее — 3-го рода. Области Зигеля 1-го рода — частные случаи областей Зигеля 2-го рода, а области 2-го рода — частные случаи областей Зигеля 3-го рода.
Термин «область Зигеля» появился при изучении автоморфных функций многих комплексных переменных. Это центральное понятие в теории однородных ограниченных областей.
В этой статье, так как по условию конус не может включать целую прямую, этот конус рассматривается в такой системе координат, в которой он принадлежит следующему ортанту:
Также в этой статье для областей Зигеля 3-го рода размерность линейного пространства вектор-функций , согласованных с формой и биголоморфных в , равна удвоенной размерности этой формы.
Область Зигеля первого рода Здесь будет определена область Зигеля 1-го рода, показано, что всякая область Зигеля 1-го рода может быть биголоморфно отображена на некоторую ограниченную область, а также выяснен вид голоморфных автоморфизмов, оставляющих на месте «бесконечно удаленную точку» области .
Определение области Зигеля первого рода Обозначим через открытый выпуклый конус в вещественном пространстве , причём пересечение конуса с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая. В этой статье используются только такие конусы.
Область Зигеля 1-го рода — неограниченное множество точек комплексного пространства :
При одномерный конус одномерного пространства — это полупрямая, поэтому верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля 1-го рода.
Отображение области Зигеля первого рода Теорема 1. Произвольная область Зигеля 1-го рода в биголоморфно эквивалентна некоторой ограниченной области, которая принадлежит прямому произведению кругов.
Доказательство. По условию конус не может включать целую прямую, следовательно, имеется система координат такая, что в ней конус принадлежит следующему ортанту:
Отсюда получаем, что произвольная область Зигеля 1-го рода принадлежит следующей области:
А эта область, в свою очередь, биголоморфно эквивалентна прямому произведению кругов, которое ограничено. □
Остов области Зигеля первого рода Остов области Зигеля 1-го рода — та часть границы области Зигеля 1-го рода , которая состоит из точек вида . Заметим, что вещественная размерность остова равна комплексной размерности всей области .
Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 1-го рода переходит сам в себя при любом автоморфизме области , голоморфном в замыкании области .
Доказательство. Обозначим через множество всех голоморфных в функций, которые имеют максимум в . Тогда для любой голоморфной функции найдётся точка остова, в которой функция имеет максимум модуля.
Обратно, для любой точки остова найдётся голоморфная функция с максимумом модуля в этой точке, например, следующая голоморфная функция: . □
Автоморфизм области Зигеля первого рода Прим доказательстве теоремы понадобится следующая формулировка леммы Чеботарёва.
Лемма 1 (Чеботарёв). На комплексной плоскости функция , аналитическая в открытой верхней полуплоскости при условии , непрерывная в замкнутой верхней полуплоскости и принимающая вещественные значения на вещественной оси может быть представлена на верхней полуплоскости в следующем линейном виде: , где и — вещественные числа.
Теорема 1. Произвольный голоморфный автоморфизм области Зигеля 1-го рода , непрерывный в замыкании , имеет следующий матричный линейный вид: , где — аффинное преобразование вещественного конуса на себя самого, — вещественный вектор.
Элемент объёма в области Зигеля первого рода Предложение 1. Произвольная ограниченная область комплексного пространства всегда содержит объём, инвариантный относительно её голоморфных автоморфизмов.
Найдём формулу инвариантного элемента объёма в области Зигеля 1-го рода . Пусть
где , . Так как для области возможно преобразование вида , где — произвольный вещественный вектор, то коэффициент не зависит от , то есть инвариантный элемент объёма в области Зигеля 1-го рода имеет следующий вид:
Кроме того, если есть аффинное преобразование конуса , то тогда — преобразование области , следовательно, имеем следующее равенство: .
Связь с неприводимыми симметрическими областями Математически интересны аналитически однородные области . Область аналитически однородна, если конус линейно однороден, то есть для произвольных двух точек найдётся аффинное преобразование конуса на себя такое, что точка переходит в точку . В таких областях инвариантный элемент объёма .
Предложение 1. Если , — однородные конусы, то множество всех точек , , , составляет однородный конус в .
Неприводимый конус — конус, который нельзя разложить на два конуса как в предыдущем абзаце.
Рассмотрим связь областей Зигеля 1-го рода с классическими областями — неприводимыми симметрическими типов I—IV, биголоморфно эквивалентными неприводимым конусам.
Cоответствующие области Зигеля 1-го рода всех описанных ниже однородных конусов — симметрические.
Область Зигеля первого рода типа I Пусть — комплексные эрмитовы матрицы порядка . Произвольной матрице поставим в соответствие точку пространства со следующими координатами:
Предложение 1. Множество точек в , которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид , где — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка , — эрмитово сопряжённая матрица матрицы .
Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц порядка , где — произвольная эрмитова, а — положительно определённая эрмитова матрица.
Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке имеет вид .
По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа I с условием .
Область Зигеля первого рода типа II Пусть — комплексные эрмитовы матрицы порядка со следующими условиями: , , .
Перепишем , , где — матрицы порядка 2. Тогда условия перепишутся в виде , , откуда следуют соотношения , , , , , где , , , , — вещественные числа, которые можно принять за координаты.
Предложение 1. Так построенные матрицы образуют пространство .
Предложение 2. Множество точек , которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют следующий вид: , где — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка , причём . Построенный конус образован всеми положительно определёнными кватернионными матрицами.
Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц порядка , где , , , , , другими словами, и матрица положительно определена.
Предложение 3. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке имеет вид .
По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа II с чётным .
Область Зигеля первого рода типа III Пусть — все вещественные симметрические матрицы порядка . Произвольной матрице поставим в соответствие точку пространства со следующими координатами:
Предложение 1. Множество точек в , которые соответствуют только положительно определённым симметрическим матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид , где — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка , — транспонированная матрица матрицы .
Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество симметрических комплексных матриц порядка , где — произвольная вещественная симметрическая матрица, а — вещественная симметрическая положительно определённая матрица.
Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке имеет вид .
По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа III. Обычно её называют обобщённой верхней полуплоскостью Зигеля.
Область Зигеля первого рода типа IV Пусть конус в вещественном пространстве определяется следующими неравенствами: , .
Предложение 1. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид , , где — произвольное положительное число.
Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество всех точек комплексного пространства , где — произвольное, а лежит на конусе..
Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке имеет следующий вид:
По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа IV.
Самосопряжённые однородные конусы Э. Винберг создал классификацию аффинно однородных конусов и нашёл все самосопряженные.Самосопряжённый конус — конус такой, что в объемлющем пространстве можно найти положительно определённую квадратичную форму , удовлетворяющую двум следующим условиям: для всех форма ; при произвольном найдётся такой , что , где — замыкание конуса .
Предложение 1. Самосопряженный конус обладает двумя свойствами: выпуклый; не содержит целой прямой.Предложение 2. Существуют только четыре бесконечные серии неприводимых самосопряжённых аффинно однородных конусов типов I—IV и один неприводимый конус в пространстве. Этот конус можно реализовать с помощью эрмитовых матриц третьего порядка над числами Кэли.Э. Винберг нашёл примеры аффинно однородных, несамосопряженных, выпуклых и не содержащих целой прямой конусов. Простейший — множество всех симметрических положительно определенных матриц , , порядка 3.
Область Зигеля второго рода Здесь будет определена область Зигеля 2-го рода и далее для таких исследованы проблемы, аналогичные рассмотренным для областей Зигеля 1-го рода.
Простейший пример область Зигеля второго рода Простейший пример область Зигеля второго рода — это область в , где и — числовые комплексные переменные.
Предложение 1. Эта область есть решение следующей задачи: отобразить шар в в некоторую область таким образом, чтобы любое преобразование шара, для которого заданная точка на границе шара неподвижна, было линейным преобразованием . Определение области Зигеля второго рода Рассмотрим выпуклый конус , которому не принадлежит никакая прямая, и функцию , в общем случае , и определим V-эрмитовые вектор-функции, обобщающие эрмитовы положительно определенные формы.V-эрмитова вектор-функция — вектор-функция , для которой выполнены четыре условия:
— произвольные комплексные числа; — замыкание конуса ; только при
Область Зигеля 2-го рода — множество всех точек , для которых выполняется следующее условие: .
Предложение 1. Следующая область Зигеля 2-го рода в ,где — числовые комплексные переменные, биголоморфно эквивалентна следующему шару: .
Доказательство. Пусть , тогда , следовательно, предложение доказано. □
Отображение области Зигеля второго рода Выше было показано, что произвольная область Зигеля 1-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение кругов. Докажем аналогичную теорему для произвольной области Зигеля 2-го рода.
Теорема 1. Произвольная область Зигеля 2-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение шаров. Остов области Зигеля второго рода Остов области Зигеля 2-го рода — та часть границы области Зигеля 2-го рода , которая состоит из точек вида , причём . Заметим, что в отличие от области Зигеля 1-го рода вещественная размерность остова больше комплексной размерности всей области .