Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников равен 1).
Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по
Формуле левых прямоугольников: Формуле правых прямоугольников: Формуле прямоугольников (средних):
Составные квадратурные формулы В случае разбиения отрезка интегрирования на элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы
Для левых прямоугольников: Для правых прямоугольников: Для средних прямоугольников:
Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.
Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.
Составные формулы для равномерных сеток Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:
где — шаг сетки.
Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса: Составная формула левых прямоугольников: Составная формула правых прямоугольников: Составная формула средних прямоугольников:
Погрешность методов Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет
Для формулы прямоугольников (средних)
Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:
Для составной формулы средних прямоугольников:
Пример реализации Формула средних прямоугольников для аналитически заданной функции, написанная на С
double InFunction(double x) { //Подынтегральная функция return 0; } double CalcIntegral(double a, double b, int n) { double result = 0, h = (b - a) / n;
for(int i = 0; i < n; i++) { result += InFunction(a+h/2+i*h);
result *= h; return result; }
См. также Формула Симпсона Метод трапеций Список квадратурных формул
Категория:Численное интегрирование