Обобщённая схема размещения частиц по ячейкам определяется следующим образом.
Определение
Пусть неотрицательные целочисленные случайные величины (с.в.) , сумма которых равна , связаны с неотрицательными целочисленными независимыми с.в. следующим соотношением:
для всех целых неотрицательных , сумма которых равна . Тогда говорят, что с.в. образуют обобщённую схему размещения (ОСР).
Если ОСР симметрична, то есть все с.в. имеют одинаковое распределение, то вероятность, стоящую справа в (1), можно записать в виде:
где
Виды схем
Каноническая схема размещения
Наиболее распространенным случаем ОСР является каноническая схема размещения, для которой
где — последовательность неотрицательных чисел такая, что , радиус сходимости ряда равен 1, максимальный шаг носителя последовательности равен 1.
К канонической схеме путём линейного преобразования с.в. сводятся все схемы вида (3) без указанных выше ограничений на последовательность с одним только условием — конечного и ненулевого радиуса сходимости . Схема (3), очевидно, является частным случаем (2) и, следовательно, (1).
Классическая схема размещения
Классическая схема размещения (схема равновероятного размещения частиц по ячейкам), в которой
не сводится к канонической, так как радиус сходимости равен бесконечности. Но она является частным случаем (2) (и, следовательно, (1)).
Применение
Схемы размещения вида (1), (2) и (3) является удобным средством изучения таких случайных объектов, как , случайные подстановки, рекурсивные леса и т. д.
См. также Гигантская компонента
Литература
Категория:Теория вероятностей