Вычислительная гидродинамика (также CFD от ) — подраздел механики сплошных сред, включающий совокупность физических, математических и численных методов, предназначенных для вычисления характеристик потоковых процессов. Эта дисциплина тесно связана с гидроаэродинамикой.
Основные принципы Основой любого исследования в области вычислительной гидродинамики является формулировка основных уравнений гидро- или газодинамики потоков, а именно: уравнения неразрывности; уравнения сохранения импульса; уравнение сохранения энергии; уравнение состояния (для газов).
Уравнение сохранения импульса может иметь различный вид в зависимости от наличия или отсутствия трения. Уравнение Навье — Стокса применяется для потоков при наличии трения, а уравнение Эйлера — для потоков без трения. В зависимости от условий задачи среда может рассматриваться как сжимаемая или несжимаемая. В последнем случае уравнения значительно упрощаются.
Вышеназванные уравнения описывают модель течения среды. В зависимости от особенностей решаемой задачи модель может быть дополнена уравнениями для учёта турбулентности, учёта переноса веществ, учёта химических реакций, учёта многофазности, учёта электромагнитных взаимодействий и т. д.
Из вышеназванных уравнений составляется система нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Система имеет аналитическое решение лишь в очень простых случаях, когда число Рейнольдса для задачи мало, а геометрия простая (например, течение Пуазейля). Для широкого спектра природных и технологических процессов задачу можно решить численно в том случае, если производные, стоящие в уравнениях, заменить на конечные разности, созданные на малых пространственных и временных интервалах. В случае моделирования реального процесса производится так называемая дискретизация пространства и времени, таким образом, что геометрия процесса разбивается на расчётные ячейки, выбранные особым образом, а время процесса — на расчётные временные интервалы. Существуют различные методы решения системы уравнений, например: метод конечных разностей; метод конечных объёмов; метод конечных элементов; метод сглаженных частиц; метод с использованием функции распределения вероятности.
Процесс решения
Для решения задач вычислительной гидродинамики специальное программное обеспечение последовательно выполняет действия, разделённые на следующие этапы: подготовительный этап. На данном этапе формируется геометрия модели, формулируются необходимые физические условия, геометрия дискретизируется, задаются начальные и граничные условия дифференциальных уравнений; расчёт. На данном этапе машина, подчиняясь заданному алгоритму, численно решает основные уравнения с точки зрения базовых физических параметров (скорость, давление, плотность, температура, энтальпия и т. д.), а также записывает результаты решения в память; анализ. Результаты решения отображаются в виде графиков, таблиц, а также контурных и/или векторных схем, привязанных к исходной геометрии.
Методология Во всех этих подходах применяется одна и та же базовая методология.
Предварительная обработка (препроцессинг); Геометрия и физические границы объекта определяют с помощью систем автоматизированного проектирования (САПР, англ. CAD). В результате, данные могут быть обработаны таким образом, что станет технически возможным выделить и извлечь объём жидкости; Объём, занимаемый жидкостью, делится на отдельные ячейки (сетка, ). Сетка может быть однородной или неоднородной, структурированной или неструктурированной, состоящей из комбинации гексаэдрических, тетраэдрических, призматических, пирамидальных или многогранных элементов; Определение критериев моделирования — например, такими: уравнение движения жидкости + энтальпия + излучение + сохранение вида; Определение граничных условий поведения и свойств жидкости на всех граничных поверхностях области текучей среды. Для динамических задач дополнительно определяются начальные условия; Запуск симуляции, во время которой уравнения решаются итеративно как стационарные или переходные; Постпроцессинг, необходимый для анализа и визуализации полученного решения.
Методы дискретизации Устойчивость выбранного метода дискретизации обычно устанавливается численно, а не аналитически, как с простыми линейными задачами. Необходимо также проявлять особую внимательность, чтобы гарантировать для конкретного метода дискретизации грамотную изящную обработку различных решений. Например, уравнения Эйлера и уравнения Навье-Стокса учитывают удары и поверхности контакта.
Некоторые из используемых методов дискретизации:
Метод конечных объёмов Метод конечных объёмов (Finite Volume Method, FVM) является общим подходом, используемым в Вычислительной гидродинамике, поскольку он имеет преимущество в использовании компьютерной памяти и скорости решения, особенно для больших задач с высокими числами Рейнольдса, турбулентных потоков, а также источников с доминирующим потоком (например, сжигания).
В методе конечных объёмов управляющие уравнения в частных производных (как правило, уравнения Навье-Стокса, уравнения сохранения массы и энергии и уравнения турбулентности) реконструируются в консервативной форме и затем решаются по дискретным объёмам управления. Эта дискретизация гарантирует сохранение потоков через определённый контрольный объём.
Уравнение конечного объёма имеет вид:
,
где Q — вектор сохраняемых переменных, F — вектор потоков (см. уравнения Эйлера или уравнения Навье — Стокса), V — объём элемента управляющего объёма, A — площадь поверхности элемента управляющего объёма.
Метод конечных элементов Метод конечных элементов используется при структурном анализе твердых тел, но также применим к жидкостям. Однако формулирование метода требует особой осторожности, чтобы обеспечить консервативное решение. Эта формула была адаптирована для использования в гидродинамике через дифференциальные уравнения с частными производными. Несмотря на то, что метод необходимо тщательно формулировать, чтобы сохранять консервативность решения, в итоге он оказывается намного более устойчивым, чем метод конечных объёмов. Тем не менее, такой метод может потребовать больше памяти и имеет более длительное время решения, чем метод конечных объёмов.
,
где является остатком уравнения в верхнем элементе , — это уравнение сохранения, выраженное на основе элемента, - весовой коэффициент, а - объём элемента.
Метод конечных разностей Метод конечных разностей имеет историческое признание и выделяется простотой программирования. В настоящее время метод используется только в нескольких специализированных кодах, которые обрабатывают сложную геометрию с высокой точностью, используя встроенные границы или перекрывающимися сетками (с интерполяцией решения по каждой сетке).
,
где — вектор сохраняемых переменных, а , и — потоки в , и направлениях соответственно.
Метод спектральных элементов Метод спектральных элементов — метод группы конечных элементов. Метод требует, чтобы математическая задача (уравнение с частными производными) была представлена в слабой формулировке. Обычно это делается путем умножения дифференциального уравнения на произвольную тестовую функцию и интегрирования по всей области. Чисто математически, тестовые функции полностью произвольны — они принадлежат бесконечномерному функциональному пространству. Ясно, что бесконечномерное функциональное пространство не может быть представлено на дискретной сетке спектральных элементов; здесь начинается дискретизация спектральных элементов. Наиболее важным является выбор функций интерполяции и тестирования. В стандартном методе конечных элементов в двумерном пространстве для четырёхсторонних элементов наиболее типичным выбором является билинейная тестовая или интерполяционная функция вида:
Однако в методе спектральных элементов интерполяционные и тестовые функции выбираются как полиномы очень высокого порядка (обычно, например, 10-го порядка в приложениях CFD). Это гарантирует быструю сходимость метода. Кроме того, необходимо использовать очень эффективные процедуры интеграции, поскольку число интеграций, которые должны выполняться в числовых кодах, велико.
Таким образом, используются квадратурные квадраты высокого порядка, поскольку они достигают наивысшей точности с наименьшим количеством вычислений, которые должны выполняться.
В настоящее время существуют некоторые академические версии кодов CFD, основанные на методе спектральных элементов, и ещё несколько разрабатываются, поскольку в академической среде разрабатывают новые схемы временного шага.
Метод граничных элементов В методе граничных элементов граница, занятая жидкостью, делится поверхностной сеткой.
Схемы дискретизации с высоким разрешением Схемы с высоким разрешением используются там, где присутствуют удары или разрывы. Захват резких изменений в решении требует использования числовых схем второго или более высокого порядка, которые не вводят ложных колебаний. Обычно это требует применения ограничителей потока, чтобы уменьшить общее отклонение решения.
Модели турбулентности В вычислительном моделировании турбулентных потоков одной общей задачей является получение модели, которая может прогнозировать интересующую исследователя величину, такую как скорость жидкости в целях моделирования инженерных конструкций. Для турбулентных потоков диапазон масштабов длины и сложность явлений, связанных с турбулентностью, делают большинство подходов к моделированию чрезмерно дорогостоящими; разрешение, необходимое для решения всех масштабов, связанных с турбулентностью, выходит за рамки того, что возможно вычислить. Первичный подход в таких случаях заключается в создании численных моделей для приближения явлений, которые решить с высокой точностью не представляется возможным. В этом разделе перечислены некоторые часто используемые вычислительные модели для турбулентных потоков.
Модели турбулентности могут быть классифицированы по ресурсным затратам на вычисления, что соответствует диапазону масштабов, которые моделируются в сравнении с разрешенными (чем больше масштабы турбулентности, которые разрешены, тем точнее разрешение моделирования, и, следовательно, тем выше ресурсная стоимость вычислений). Если большинство или все масштабы турбулентности не моделируются, вычислительная стоимость невелика, но компромисс находится в таком случае за счет пониженной точности.
В дополнение к широкому диапазону длин и временных масштабов и связанным с ними вычислительными затратами управляющие уравнения модели динамики жидкости содержат нелинейный конвективный член и нелинейный и нелокальный градиент давления. Эти нелинейные уравнения должны решаться численно с соответствующими граничными и начальными условиями.
Уравнения Рейнольдса, уравнения Навье-Стокса Уравнения Рейнольдса Навье-Стокса (RANS) являются самым старым подходом к моделированию турбулентности. Решаются управляющие уравнения моделей, в которые вводится новые кажущиеся напряжения, известные как напряжения Рейнольдса. Распространенным заблуждением является то, что уравнения RANS не применяются к потокам с изменяющимся во времени средним потоком, поскольку эти уравнения «усредняются по времени». Фактически, статистически нестационарные (или просто нестационарные) потоки могут быть одинаково обработаны. Это иногда называют URANS. В уравнениях Рейнольдса нет ничего, что усложняло бы модели турбулентности, однако они действительны только до тех пор, пока время, в течение которого происходят эти изменения в среднем велико по сравнению с временными масштабами турбулентного движения, в которых сосредоточена большая часть энергии.
Модели RANS можно разделить по двум применяемым подходам:
Приближение Буссинеска