0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 • × × × × × × × × × 1 × • × × × × × × × × 2 × × • × × × × × × × 3 × × × • × × × × × × 4 × × × × • × × × × × 5 × × × × × • × × × × 6 × × × × × × • × × × 7 × × × × × × × • × × 8 × × × × × × × × • × 9 × × × × × × × × × • Равенство десятичных цифр как бинарное отношение: •истина, ×ложь
Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.
Определения равенства Равенство является интуитивно очевидным отношением: значение двух выражений одно и то же. При его формальном определении возникает разнобой.
Теория множеств, по определению, считает два объекта (то есть, два множества) равными, если они состоят из одних и тех же элементов:
В теориях с типизацией объектов отношение равенства имеет смысл лишь между элементами одного типа (попросту говоря, внутри определённого множества). Логицисты (сначала в логике предикатов Фреге, затем в рамках теории типов) опирались на определение равенства, похожее на теоретико-множественное, но рассматривающее отношения с другой стороны:
То есть, для равенства двух объектов необходимо и достаточно, чтобы любой предикат, который может быть построен на данном типе, давал на них одинаковое логическое значение. Впрочем, не логицисты это определение придумали — оно было известно ещё Лейбницу.
Некоторые формальные теории уклоняются от определения равенства, считая его изначально заданным отношением эквивалентности.
Связанные определения Формальное определение и интуитивное понимание равенства иногда конфликтуют. Равно ли (целое) число 1 (действительному) числу ? С точки зрения интуиции — да, а с точки зрения теории типов вопрос неверно поставлен (ср. с проблемой приведения типов в программировании). В математике в подобных случаях подразумевается каноническое вложение одного множества (пространства, типа) в другое, большее. Вопрос о равенстве целого числа действительному можно понимать как равенство собственно действительного и другого действительного числа, соответствующего нашему целому. То есть, работа с интуитивно «очевидными» фактами типа всякое целое число является рациональным, а рациональное — действительным, требует в рамках некоторых формальных подходов специальных оговорок.
Виды равенств, различаемых по математическому смыслу
Равенство в общем случае (как правило, численное равенство). Знак: (вообще равно).
Уравнение — построенное при помощи равенства логическое высказывание, в которое входит переменная. Оно задаёт подмножество предметной области переменной — множество корней уравнения. Знак: (возможное равенство). Тождество — высказывание, верное при любых значениях переменных. Оно часто (хотя вовсе не обязательно) строится на основе отношения равенства. Знак: (тождественное равенство). Можно сделать уточнение. Два алгебраических выражения и называются тождественно равными на области , лежащей в ОДЗ этих выражений, если для всех числовых значений переменных из области соответствующие числовые значения этих выражений равны. Тогда говорят, что на области справедливо тождественное равенство (тождество) . Если имеет тождество на , то можно записать и так: .
Определение величины или переменной записывается с помощью равенства: Пусть переменная равна выражению.
Относительные равенства Не всегда равенство означает точное совпадение значений, иногда с его помощью него выражают относительное равенство, справедливое с некоторой точностью, в определённых пределах. Например, равенство означает, что значение лишь приблизительно равно 1, более точно - его значения находятся в интервале от 0,999 до 1,001.
Аналогичное явление, называемое асимптотическим равенством, встречается у функций. Равенство вида означает, что при стремлении к бесконечности, функции и почти равны (грубо равны), то есть различаются на величину, асимптотический рост которой ограничен (или сравним с) ростом функции .
Ещё один пример относительных равенств для функций - равенство почти всюду на множестве с мерой.
Несколько иной пример относительных равенств даёт геометрия. Геометрические фигуры на плоскости (или в пространстве) называют равными, если при подходящем наложении они совпадут (будут равны как точечные множества). То есть фигуры равны, если одна может быть трансформирована в другую под действием группы движений плоскости или пространства. Говорят, что фигуры равны с точностью до действия группы .
Аналогично говорят, что некие объекты равны с точностью до изоморфизма, если между ними можно установить изоморфизм. Равенство с точностью до изоморфизма является поводом для их отождествления (сознательного неразличения их между собой).
См. также Знак равенства Присваивание Сравнение (программирование) Эквиваленция
Категория:Математические отношения
Категория:Математическая логика Категория:Арифметика