Теорема о классификации простых конечных групп — теорема теории групп, классифицирующая с точностью до изоморфизма простые конечные группы.

Простые конечные группы — «элементарные кирпичики», из которых можно построить любую конечную группу, так же, как любое натуральное число можно разложить в произведение простых. Теорема Жордана — Гёльдера является более точным способом выражения этого факта для конечных групп. Однако существенное отличие от факторизации целых чисел заключается в том, что такие «кирпичики» не будут определять группу однозначно, так как может существовать множество неизоморфных групп с теми же .

Теорема считается доказанной в серии работ примерно 100 авторов, опубликованных в основном с 1955 по 2004 годы и содержащих в общей сложности тысячи страниц текста. , и (ранее) постепенно публикуют упрощённую и пересмотренную версию доказательства.

Теорема классификации находит применение во многих областях математики, так как вопросы о структуре конечных групп (и их действия на другие математические объекты) могут быть иногда сведены к вопросам о конечных простых группах. Благодаря теореме о классификации на такие вопросы можно иногда ответить, проверив каждое семейство простых групп и каждую спорадическую группу.

Формулировка

Теорема: Любая конечная простая группа изоморфна либо одной из 26 спорадических групп, либо принадлежит одному из следующих трёх семейств: циклические группы простого порядка; знакопеременные группы перестановок не менее 5 элементов; простые группы типа Ли, а именно: классические группы Ли над конечным полем, а именно, группы Шевалле , , и ; исключительные и скрученные формы групп типа Ли (включая группу Титса).

Обзор доказательства теоремы классификации Горенстейн написал двухтомник с набросками доказательства для низких рангов и нечётных характеристик, а Ашбахер написал 3-й том, покрывающий оставшиеся случаи характеристики 2. Доказательство можно разбить на несколько основных частей:

Группы малого 2-ранга Простые группы низкого 2-ранга являются, в основном, группами лиева типа с малым рангом над полями нечётной характеристики, наряду с пятью знакопеременными группами, семью группами характеристического типа 2 и девятью спорадическими группами.

Простые группы малого 2-ранга включают: Группы 2-ранга 0, другими словами, группы нечётного порядка, которые все являются разрешимыми по теореме Томпсона — Фейта. Группы 2-ранга 1. Силовские 2-подгруппы являются либо циклическими, с которыми легко работать с использованием функций перехода, либо обобщёнными кватернионами, с которыми работают при помощи . В частности, не существует простых групп 2-ранга 1. Группы 2-ранга 2. Альперин показал, что силовская подгруппа должна быть диэдральной, квазидиэдральной, сплетённой или силовской 2-подгруппой группы U3(4). Первый случай покрывает , которая показывает, что только простые группы изоморфны L2(q) для нечётных q, или группе A7. Второй и третий случаи покрывает теорема Альперина — Брауэра — Горенстейна, из которой вытекает, что только простые группы изоморфны или для нечётных q, или группе M11. Последний случай покрывает Лайонс, показавший, что является единственной простой возможностью. Группы секционного 2-ранга, не превосходящего 4, классифицируются . Классификация групп малого 2-ранга, особенно рангов, не превосходящих 2, интенсивно использует обычную и модулярную теорию характеров, которая почти нигде не применяется явно в других местах классификации.

Все группы за пределами малых 2-рангов можно разбить на два больших класса — группы компонентного типа и группы характеристического типа 2. Если группа имеет секционный 2-ранг, не меньший 5, МакВильямс показал, что её силовские 2-подгруппы связны, а из следует, что любая простая группа со связной силовской 2-подгруппой либо является группой компонентного типа, либо группой характеристического типа 2. (Для групп низкого 2-ранга доказательство этого не проходит, поскольку теоремы, такие как теорема о , работают только для групп с элементарными абелевыми подгруппами ранга по меньшей мере 3.)

Группы компонентного типа Говорят, что группа является группой компонентного типа, если для некоторого централизатора C инволюции C/O(C) имеет компоненту (квазипростую субнормальную подгруппу; здесь O(C) — ядро C, максимальная нормальная подгруппа нечётного порядка). Они представлены в основном группами лиева типа нечётной характеристики с большим рангом и знакопеременными группами, а также некоторыми спорадическими группами. Главный шаг в данном случае — исключить препятствие с ядром инволюции. Делается это с помощью , которая утверждает, что любая компонента C/O(C) является образом компоненты ядра C.

Идея заключается в том, что эти группы имеют централизатор инволюции с компонентой, являющейся меньшей квазипростой группой, которая может считаться уже известной по индукции. Так что для классификации этих групп можно взять каждое центральное расширение каждой известной конечной простой группы и найти все простые группы с централизатором инволюции с этой группой в качестве компоненты. Это даёт огромное число различных случаев, требующих проверки — помимо того, что имеются 26 спорадических групп, 16 семейств групп лиева типа и знакопеременные группы, ещё и многие группы малого ранга или над малыми полями ведут себя отлично от основного случая и должны быть рассмотрены отдельно. Кроме того, группы лиева типа чётной и нечётной характеристики также ведут себя по-разному.

Группы характеристического типа 2 Группа имеет характеристический тип 2, если F*(Y) любой 2-локальной подгруппы Y является 2-группой. Как подсказывает название, эти группы, грубо говоря, являются группами лиева типа над полями характеристики 2, плюс некоторое количество других групп, знакопеременных, спорадических или нечётной характеристики. Классификация этих групп делится на случаи большого и малого ранга, где ранг — наибольший ранг нечётной абелевой подгруппы, нормализующей нетривиальную 2-подгруппу, и этот ранг часто (но не всегда) является рангом подалгебры Картана, когда группа является группой лиева типа характеристики 2.

Группы ранга 1 — это тонкие группы, классифицированные Ашбахером, а группы ранга 2 — это доставившие немало проблем , классифицированные Ашбахером и Смитом. Они, грубо говоря, соответствуют группам лиева типа рангов 1 или 2 над полями характеристики 2.

Группы ранга 3 и выше делятся на три класса согласно , доказанной Ашбахером для ранга 3 и Горенстейном с Лайонсом для ранга 4 и выше. Эти три класса: группы типа GF(2) (в основном классифицированные Тиммесфельдом), группы «стандартного типа» для некоторых нечётных простых (классифицированы теоремой Гилмана — Гриса и работами некоторых других авторов) и группы «уникального» (uniqueness) типа, для которых из результата Ашбахера вытекает, что среди них нет простых групп. Случай общего высокого ранга представляют большей частью группы лиева типа над полями характеристики 2 с рангом по меньшей мере 3 или 4.

Существование и единственность простых групп Большая часть классификации даёт описание каждой простой группы. Необходимо проверить, что существует простая группа для каждого описанного случая и что она единственна. Это даёт большое число дополнительных проблем. Например, оригинальные доказательства существования и единственности Монстра занимают около 200 страниц, а идентификация групп Ри Томпсоном и Бомбиери была одной из труднейших частей классификации. Многие из доказательств существования и некоторые из доказательств единственности для спорадических групп первоначально использовали компьютерные вычисления, большинство из которых затем были заменены более короткими доказательствами, сделанными вручную.

История вопроса

Программа Горенстейна В 1972 году Горенстейн объявил программу завершения классификации конечных простых групп, состоящую из следующих 16 шагов: Группы низкого 2-ранга. По существу, это было сделано Горенстейном и Харадой, которые классифицировали группы с секционным 2-рангом, не превосходящим 4. Большинство случаев 2-ранга, не превосходящего 2, уже было сделано к тому времени Горенстейном, объявившим программу. Полупростота 2-слоёв. Задача заключается в доказательстве, что 2-слой централизатора инволюции в простой группе является полупростым. Стандартная форма при нечётной характеристике. Если группа имеет инволюцию с 2-компонентой, являющейся группой лиева типа с нечётной характеристикой, нужно показать, что группа имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», что означает, что централизатор инволюции имеет компоненту лиева типа с нечётной характеристикой и имеет централизатор с 2-рангом 1. Классификация групп нечётного типа. Задача заключается в доказательстве, что если группа имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», то эта группа является группой лиева типа с нечётной характеристикой. Задачу решил Ашбахер, доказав . Квазистандартная форма Центральные инволюции Классификация знакопеременных групп Некоторые спорадические группы Тонкие группы. Простые тонкие конечные группы с 2-локальным p-рангом, не превосходящим 1 для нечётных простых p, классифицировал Ашбахер в 1978 Группы со строго p-вложенной подгруппой для нечётных p Метод сигнализаторного функтора для нечётных простых чисел. Главная задача — доказать теорему о для неразрешимых сигнализаторных функторов. Задачу решил Макбрайд в 1982. Группы характеристического типа p. Это задача о группах со строго p-вложенной 2-локальной подгруппой для нечётного p, которую решил Ашбахер. Квазитонкие группы.  — это группа, 2-локальные подгруппы которой имеют p-ранг, не превосходящий 2, для всех нечётных простых p. Задача заключается в классификации таких простых групп с характеристическим типом 2. Задачу выполнили Ашбахер и Смит в 2004 году. Группы низкого 2-локального 3-ранга. Задача была, по существу, уже решена Ашбахера для групп с e(G)=3. Главное изменение заключалось в замене 2-локального 3-ранга на 2-локальный p-ранг для нечётных простых чисел. Централизаторы 3-элементов в стандартной форме. Задача, по существу, решена . Классификация простых групп с характеристическим типом 2. Эта часть классификации была выполнена с помощью , в которой 3-элементы были заменены на p-элементы для нечётных простых чисел.

Горенстейн объявил в 1983 году, что все конечные простые группы классифицированы, но заявление было преждевременным, так как он был недостаточно осведомлён относительно классификации . Об окончательном завершении доказательства объявил Ашбахер в 2004 году после того, как он вместе со Смитом опубликовал 1221-страничное доказательство для недостававшего квазитонкого случая.

Хронология доказательства Большая часть информации в списке взята из статьи Соломона. Приведённые даты, как правило, являются датой публикации полного доказательства результата. Эта дата иногда на несколько лет позже доказательства или первого объявления результата, так что может показаться, что события идут в «неверном» порядке.